Логарифмы | Все о логарифмах

Показательные уравнения: вынесение общего множителя

Показательные уравнения: вынесение вынесение общего множителя за скобки — следующий шаг в рассмотрении видов показательных уравнений и способов их решения.

Признаки показательного уравнения, решаемого вынесением общего множителя за скобки:

1) все степени имеют одинаковые основания;

2) все показатели степеней имеют одинаковые коэффициенты при переменных.

Количество степеней может быть любым.

Выносить за скобки можно степень с любым показателем, но удобнее всего в качестве общего множителя вынести степень с наименьшим показателем если основание a>1, с наибольшим — при a<1.

(далее…)

Показательные уравнения. Примеры

Продолжаем рассматривать показательные уравнения. Примеры решения показательных уравнений, в которых задействованы степени с одинаковыми показателями — наш следующий шаг на этом пути.

В этих примерах акцент сделан на следующих свойствах степеней:

${a^n} \cdot {b^n} = {(ab)^n}$

$\frac{{{a^n}}}{{{b^n}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^n}$

(далее…)

Решение простейших показательных уравнений

Рассмотрим решение простейших показательных уравнений, приводимых к уравнениям вида

${a^{f(x)}} = b$

с помощью свойств степеней:

${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}$

${a^m}:{a^n} = {a^{m - n}} (\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}})$

${({a^m})^n} = {a^{mn}}$

$\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$

$\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ - n}}$

${a^0} = 1$

${a^1} = a$

$1){({6^{x + 3}})^{x - 4}} = {(\frac{1}{6})^x} \cdot {36^{x + 6}}$

ОДЗ (Область допустимых значений уравнения) — x∈R.

(далее…)

Простейшие показательные уравнения

Показательные уравнения — это уравнения, в которых переменная входит в показатель степени, а основание степени переменной не содержит.

Простейшие показательные уравнения — это уравнения вида

${a^x} = b,$

где a>0, a≠1.

Так как показательная функция

$y = {a^x}$

строго монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0<a<1), то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента, следовательно, простейшее показательное уравнение имеет единственный корень (или не имеет корней).

(далее…)

Как сравнивать степени

Как сравнивать степени с одинаковыми основаниями? С одинаковыми показателями? Можно ли сравнить степени, если и основания, и показатели различны?

Как и сравнение логарифмов, сравнение степеней основано на свойстве показательной функции.

Сравнение степеней с одинаковыми основаниями

Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.

Если основание степени меньше единицы (0<a<1), функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, знак неравенства между показателями степеней противоположен знаку между степенями.

(далее…)