Примеры решения показательных неравенств

Примеры решения показательных неравенств продолжим рассмотрением неравенств, решаемых вынесением общего множителя за скобки.

Решение показательных неравенств этого вида тесно связано с решением соответствующих уравнений. Как и в уравнениях, в качестве общего множителя за скобки желательно выносить степень с наименьшим показателем, если основание a>1, либо наибольшим, если a<1.

$1){2^{x + 1}} + {2^{x - 1}} \le 10$

2>1, показатель x-1 — меньший, поэтому выносим за скобки 2 в степени x-1. Вынести за скобки общий множитель — значит, каждое слагаемое разделить на этот множитель:

${2^{x - 1}} \cdot (\frac{{{2^{x + 1}}}}{{{2^{x - 1}}}} + \frac{{{2^{x - 1}}}}{{{2^{x - 1}}}}) \le 10$

при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляем прежним, а показатели — вычитаем:

${2^{x - 1}} \cdot ({2^{(x + 1) - (x - 1)}} + 1) \le 10$

${2^{x - 1}} \cdot ({2^{x + 1 - x + 1}} + 1) \le 10$

${2^{x - 1}} \cdot ({2^2} + 1) \le 10$

${2^{x - 1}} \cdot 5 \le 10\_\_\_\left| {:5 > 0} \right.$

Обе части неравенства разделим на 5. При делении на положительное число знак неравенства не изменится:

${2^{x - 1}} \le 2$

${2^{x - 1}} \le {2^1}$

В обеих частях неравенства получили степени с одинаковым основанием. Так как 2>1, показательная функция

$y = {2^x}$

возрастает, поэтому знак неравенства между показателями не меняется:

$x - 1 \le 1$

$x \le 2$

Решение неравенства отметим на числовой прямой:

Ответ:

$x \in ( - \infty ;2].$

$2)5 \cdot {0,5^{x - 3}} + {0,5^{x + 1}} < 162$

В данном случае удобнее вынести за скобки степень с большим показателем (так как 0,5<1)

${0,5^{x + 1}} \cdot (\frac{{5\cdot{{0,5}^{x - 3}}}}{{{{0,5}^{x + 1}}}} + \frac{{{{0,5}^{x + 1}}}}{{{{0,5}^{x + 1}}}}) < 162$

${0,5^{x + 1}} \cdot (5\cdot{0,5^{x - 3 - (x + 1)}} + 1) < 162$

${0,5^{x + 1}} \cdot (5\cdot{0,5^{ - 4}} + 1) < 162$

$5\cdot{0,5^{ - 4}} + 1 = 5 \cdot {(\frac{5}{{10}})^{ - 4}} + 1$

$= {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 4}} + 1 = 5 \cdot {2^4} + 1 = 81$

${0,5^{x + 1}} \cdot 81 < 162\_\_\_\left| {:81 > 0} \right.$

${0,5^{x + 1}} < 2$

$2 = {0,5^{ - 1}},$

${0,5^{x + 1}} < {0,5^{ - 1}}$

Поскольку основание 0,5<1, показательная функция

$y = {(0,5)^x}$

убывает, знак между показателями изменяется на противоположный:

$x + 1 > - 1$

$x > - 2$

Решение неравенства отмечаем на числовой прямой и записываем ответ:

Ответ:

$x \in ( - 2;\infty ).$

$3){10^{{x^2} - 3x}} + {0,1^{3x - {x^2} - 1}} \le 0,11$

Сначала приведем степени к общему основанию:

${0,1^{3x - {x^2} - 1}} = {({10^{ - 1}})^{3x - {x^2} - 1}} = {10^{{x^2} - 3x + 1}}$

${10^{{x^2} - 3x}} + {10^{{x^2} - 3x + 1}} \le 0,11$

Вынесем за скобки степень с меньшим показателем

${10^{{x^2} - 3x}} \cdot (1 + {10^{{x^2} - 3x + 1 - ({x^2} - 3x)}}) \le 0,11$

${10^{{x^2} - 3x}} \cdot (1 + 10) \le 0,11$

${10^{{x^2} - 3x}} \cdot 11 \le 0,11\_\_\_\left| {:11 > 0} \right.$

${10^{{x^2} - 3x}} \le 0,01$

${10^{{x^2} - 3x}} \le {10^{ - 2}}$

Основание 10>1, функция

$y = {10^x}$

возрастает, знак неравенства между показателями не изменяется:

${x^2} - 3x \le - 2$

Переносим все слагаемые в левую часть

${x^2} - 3x + 2 \le 0$

и решаем неравенство методом интервалов. Ищем нули функции, стоящей в левой части:

${x^2} - 3x + 2 = 0$

${x_1} = 1;{x_2} = 2$

Отмечаем их на числовой прямой.

primery-pokazatelnyh-neravenstv-reshenie

Для проверки знака возьмём нуль:

${0^2} - 3 \cdot 0 + 2 > 0,$

следовательно, в промежутке, которому принадлежит нуль, ставим «+», а остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Так как в нашем неравенстве левая часть ≤0, в ответ записываем промежуток со знаком «-«.

Ответ:

$x \in \left[ {1;2} \right].$

Добавить комментарий Отменить ответ