Примеры решения показательных неравенств

Примеры решения показательных неравенств продолжим рассмотрением неравенств, решаемых вынесением общего множителя за скобки.

Решение показательных неравенств этого вида тесно связано с решением соответствующих уравнений. Как и в уравнениях, в качестве общего множителя за скобки желательно выносить степень с наименьшим показателем, если основание a>1, либо наибольшим, если a<1.

    \[1){2^{x + 1}} + {2^{x - 1}} \le 10\]

2>1, показатель x-1 — меньший, поэтому выносим за скобки 2 в степени x-1. Вынести за скобки общий множитель — значит, каждое слагаемое разделить на этот множитель:

    \[{2^{x - 1}} \cdot (\frac{{{2^{x + 1}}}}{{{2^{x - 1}}}} + \frac{{{2^{x - 1}}}}{{{2^{x - 1}}}}) \le 10\]

при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляем прежним, а показатели — вычитаем:

    \[{2^{x - 1}} \cdot ({2^{(x + 1) - (x - 1)}} + 1) \le 10\]

    \[{2^{x - 1}} \cdot ({2^{x + 1 - x + 1}} + 1) \le 10\]

    \[{2^{x - 1}} \cdot ({2^2} + 1) \le 10\]

    \[{2^{x - 1}} \cdot 5 \le 10\_\_\_\left| {:5 > 0} \right.\]

Обе части неравенства разделим на 5. При делении на положительное число знак неравенства не изменится:

    \[{2^{x - 1}} \le 2\]

    \[{2^{x - 1}} \le {2^1}\]

В обеих частях неравенства получили степени с одинаковым основанием. Так как 2>1, показательная функция

    \[y = {2^x}\]

возрастает, поэтому знак неравенства между показателями не меняется:

    \[x - 1 \le 1\]

    \[x \le 2\]

Решение неравенства отметим на числовой прямой:primery-resheniya-pokazatelnyh-neravenstv

Ответ:

    \[x \in ( - \infty ;2].\]

    \[2)5 \cdot {0,5^{x - 3}} + {0,5^{x + 1}} < 162\]

В данном случае удобнее вынести за скобки степень с большим показателем (так как 0,5<1) 

    \[{0,5^{x + 1}} \cdot (\frac{{5\cdot{{0,5}^{x - 3}}}}{{{{0,5}^{x + 1}}}} + \frac{{{{0,5}^{x + 1}}}}{{{{0,5}^{x + 1}}}}) < 162\]

    \[{0,5^{x + 1}} \cdot (5\cdot{0,5^{x - 3 - (x + 1)}} + 1) < 162\]

    \[{0,5^{x + 1}} \cdot (5\cdot{0,5^{ - 4}} + 1) < 162\]

    \[5\cdot{0,5^{ - 4}} + 1 = 5 \cdot {(\frac{5}{{10}})^{ - 4}} + 1\]

    \[ = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 4}} + 1 = 5 \cdot {2^4} + 1 = 81\]

    \[{0,5^{x + 1}} \cdot 81 < 162\_\_\_\left| {:81 > 0} \right.\]

    \[{0,5^{x + 1}} < 2\]

    \[2 = {0,5^{ - 1}},\]

    \[{0,5^{x + 1}} < {0,5^{ - 1}}\]

Поскольку основание 0,5<1, показательная функция

    \[y = {(0,5)^x}\]

убывает, знак между показателями изменяется на противоположный:

    \[x + 1 > - 1\]

    \[x > - 2\]

Решение неравенства отмечаем на числовой прямой и записываем ответ:

primery-s-resheniyami-pokazatelnyh-neravenstv

Ответ:

    \[x \in ( - 2;\infty ).\]

    \[3){10^{{x^2} - 3x}} + {0,1^{3x - {x^2} - 1}} \le 0,11\]

Сначала приведем степени к общему основанию:

    \[{0,1^{3x - {x^2} - 1}} = {({10^{ - 1}})^{3x - {x^2} - 1}} = {10^{{x^2} - 3x + 1}}\]

    \[{10^{{x^2} - 3x}} + {10^{{x^2} - 3x + 1}} \le 0,11\]

Вынесем за скобки степень с меньшим показателем

    \[{10^{{x^2} - 3x}} \cdot (1 + {10^{{x^2} - 3x + 1 - ({x^2} - 3x)}}) \le 0,11\]

    \[{10^{{x^2} - 3x}} \cdot (1 + 10) \le 0,11\]

    \[{10^{{x^2} - 3x}} \cdot 11 \le 0,11\_\_\_\left| {:11 > 0} \right.\]

    \[{10^{{x^2} - 3x}} \le 0,01\]

    \[{10^{{x^2} - 3x}} \le {10^{ - 2}}\]

Основание 10>1, функция

    \[y = {10^x}\]

возрастает, знак неравенства между показателями не изменяется:

    \[{x^2} - 3x \le - 2\]

Переносим все слагаемые в левую часть

    \[{x^2} - 3x + 2 \le 0\]

и решаем неравенство методом интервалов. Ищем нули функции, стоящей в левой части:

    \[{x^2} - 3x + 2 = 0\]

    \[{x_1} = 1;{x_2} = 2\]

Отмечаем их на числовой прямой.

primery-pokazatelnyh-neravenstv-reshenie

Для проверки знака возьмём нуль:

    \[{0^2} - 3 \cdot 0 + 2 > 0,\]

следовательно, в промежутке, которому принадлежит нуль, ставим «+», а остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Так как в нашем неравенстве левая часть ≤0, в ответ записываем промежуток со знаком «-«.

Ответ:

    \[x \in \left[ {1;2} \right].\]

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>