Как сравнивать логарифмы

Как сравнивать логарифмы?

При сравнении логарифмов используют свойства логарифмической функции

    \[y = {\log _a}x\]

При сравнении логарифмов с одинаковыми основаниями:

— если основание  больше единицы (a>1), функция возрастает, значит, большему значению аргумента соответствует большее значение функции (то есть знак неравенства не изменяется);

— если основание меньше единицы (0<a<1), функция убывает, значит, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (знак неравенства меняется на противоположный).

С помощью схемы сравнение логарифмов можно изобразить так:

kak-sravnivat-logarifmy

Примеры.

1) Сравнить b и c, если

    \[{\log _3}b > {\log _3}c.\]

Решение.

Основание 3>1, функция возрастает, знак неравенства между выражениями, стоящими под знаками логарифмов, не изменяется:

    \[b > c.\]

2) Сравнить m и n, если

    \[{\log _{\frac{1}{9}}}m \le {\log _{\frac{1}{9}}}n.\]

Решение.

Основание 1/9<1, функция убывает, знак неравенства между выражениями, стоящими под знаками логарифмов, изменяется на противоположный:

    \[m \ge n.\]

3) Сравнить с единицей основание логарифма, если

    \[{\log _a}0,3 < {\log _a}\frac{1}{3}.\]

Решение.

Сравним числа, стоящие под знаками логарифмов. Для этого представим их в виде обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями:

    \[0,3 = \frac{{{3^{\backslash 3}}}}{{10}} = \frac{9}{{30}},\frac{{{1^{\backslash 10}}}}{3} = \frac{{10}}{{30}}\]

Поскольку

    \[\frac{9}{{30}} < \frac{{10}}{{30}}, \Rightarrow 0,3 < \frac{1}{3}.\]

То есть, знак неравенства не изменился. Значит, функция возрастает и основание a>1.

Сравнение логарифмов с разными основаниями.

Чтобы сравнить логарифмы с разными основаниями, можно попытаться, используя свойства логарифмов, привести их к одинаковым основаниям.

Например, сравним

    \[{\log _{81}}5\]

и

    \[{\log _{\sqrt {27} }}6\]

Оба логарифма можно привести к основанию 3:

    \[{\log _{81}}5 = {\log _{{3^4}}}5 = \frac{1}{4}{\log _3}5 = \]

    \[ = {\log _3}{5^{\frac{1}{4}}} = {\log _3}\sqrt[4]{5},\]

    \[{\log _{\sqrt {27} }}6 = {\log _{{3^{\frac{3}{2}}}}}6 = \frac{1}{{\frac{3}{2}}}{\log _3}6 = \frac{2}{3}{\log _3}6 = \]

    \[ = {\log _3}{6^{\frac{2}{3}}} = {\log _3}\sqrt[3]{{{6^2}}} = {\log _3}\sqrt[3]{{36}}.\]

Так как

    \[\sqrt[4]{5} < \sqrt[3]{{36}}\]

и основание 3>1, функция возрастает и знак неравенства не изменяется:

    \[{\log _3}\sqrt[4]{5} < {\log _3}\sqrt[3]{{36}}\]

Следовательно,

    \[{\log _{81}}5 < {\log _{\sqrt {27} }}6.\]

Иногда бывает достаточно сравнить логарифмы с нулём.

Примеры.

1) Сравнить

    \[{\log _{1,4}}7,1u{\log _{0,9}}2,7\]

Сравним каждый из логарифмов с нулём:

    \[{\log _{1,4}}7,1 > 0,\]

    \[{\log _{0,9}}2,7 < 0.\]

Так как первый логарифм больше нуля, а второй — меньше нуля, то

    \[{\log _{1,4}}7,1 > {\log _{0,9}}2,7\]

2) Сравнить

    \[{\log _{\frac{1}{2}}}1,7\]

и

    \[{\log _{2,6}}2,1\]

Сравниваем каждый из логарифмов с нулём:

    \[{\log _{\frac{1}{2}}}1,7 < 0,\]

    \[{\log _{5,6}}2,1 > 0\]

Первый логарифм меньше нуля, второй — больше нуля, следовательно, первый логарифм меньше второго:

    \[{\log _{\frac{1}{2}}}1,7 < {\log _{5,6}}2,1.\]

Сравнивать логарифмы можно, опираясь непосредственно на определение логарифма.

Например, сравним

    \[{\log _3}10\]

и

    \[{\log _8}62.\]

    \[{3^2} = 9,{\log _3}10 > {\log _3}9, \Rightarrow {\log _3}10 > 2;\]

    \[{8^2} = 64,{\log _8}62 < {\log _8}64, \Rightarrow {\log _8}62 < 2.\]

Следовательно,

    \[{\log _3}10 > {\log _8}62.\]

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *