Решение простейших показательных уравнений

Рассмотрим решение простейших показательных уравнений, приводимых к уравнениям вида

    \[{a^{f(x)}} = b\]

с помощью свойств степеней:

    \[{a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}\]

    \[{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}} (\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}})\]

    \[{({a^m})^n} = {a^{mn}}\]

    \[\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\]

    \[\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ - n}}\]

    \[{a^0} = 1\]

    \[{a^1} = a\]

    \[1){({6^{x + 3}})^{x - 4}} = {(\frac{1}{6})^x} \cdot {36^{x + 6}}\]

ОДЗ (Область допустимых значений уравнения) — x∈R.

Приводим все степени к основанию 6

    \[{6^{(x + 3)(x - 4)}} = {6^{ - x}} \cdot {6^{2(x + 6)}}\]

Упрощаем правую часть

    \[{6^{(x + 3)(x - 4)}} = {6^{ - x + 2(x + 6)}}\]

Приравниваем показатели степеней

    \[(x + 3)(x - 4) = - x + 2(x + 6)\]

Раскрываем скобки\

    \[{x^2} - 4x + 3x - 12 = - x + 2x + 12\]

Упрощаем

    \[{x^2} - x - 12 = x + 12\]

Переносим все слагаемые в левую часть, изменяя при переносе знаки слагаемых на противоположные

    \[{x^2} - x - 12 - x - 12 = 0\]

    \[{x^2} - 2x - 24 = 0\]

и решаем квадратное уравнение:

    \[D = {b^2} - 4ac = {( - 2)^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 24) = \]

    \[ = 4 + 96 = 100 > 0,\]

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{2 \pm \sqrt {100} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{2 \pm 10}}{2},\]

    \[{x_1} = \frac{{2 + 10}}{2} = 6,{x_2} = \frac{{2 - 10}}{2} = - 4.\]

Ответ: 6; -4.

    \[2)\frac{{{3^{{x^2}}}}}{{27}} = {9^x}\]

ОДЗ: x∈R.

Приводим обе части уравнения к степени с основанием 3:

    \[\frac{{{3^{{x^2}}}}}{{{3^3}}} = {3^{2x}}\]

    \[{3^{{x^2} - 3}} = {3^{2x}}\]

Приравниваем показатели

    \[{x^2} - 3 = 2x\]

    \[{x^2} - 2x - 3 = 0\]

и решаем квадратное уравнение:

    \[{x_1} = 3; {x_2} = - 1.\]

Ответ: 3; -1.

    \[3)\sqrt[3]{{{{625}^{3 - x}}}} = \sqrt[4]{{{{125}^{x + 2}}}}\]

ОДЗ: x∈R.

Приводим 625 и 125 к степени с основанием 5:

    \[\sqrt[3]{{{5^{4(3 - x)}}}} = \sqrt[4]{{{5^{3(x + 2)}}}}\]

Заменяем корень степенью с дробным показателем:

    \[{5^{\frac{{12 - 4x}}{3}}} = {5^{\frac{{3x + 6}}{4}}}\]

Приравниваем показатели степеней:

    \[\frac{{12 - 4x}}{3} = \frac{{3x + 6}}{4}\]

По основному свойству пропорции

    \[4(12 - 4x) = 3(3x + 6)\]

Отсюда

    \[48 - 16x = 9x + 18\]

    \[ - 16x - 9x = 18 - 48\]

    \[ - 25x = - 30 \left| {:( - 25)} \right.\]

    \[x = \frac{{30}}{{25}}\]

    \[x = \frac{6}{5}\]

    \[x = 1,2\]

Ответ: 1,2.

    \[4){49^x} \cdot {7^{\frac{{6 - 2x}}{{x - 3}}}} = 1\]

ОДЗ: x-3≠0 => x≠3.

Приводим обе части уравнения к степеням с основанием 7:

    \[{7^{2x}} \cdot {7^{\frac{{6 - 2x}}{{x - 3}}}} = {7^0}\]

    \[{7^{2x + \frac{{6 - 2x}}{{x - 3}}}} = {7^0}\]

Приравниваем показатели

    \[2{x^{\backslash (x - 3)}} + \frac{{6 - 2{x^{\backslash 1}}}}{{x - 3}} = 0\]

    \[\frac{{2{x^2} - 6x + 6 - 2x}}{{x - 3}} = 0\]

    \[\frac{{2{x^2} - 8x + 6}}{{x - 3}} = 0 \left| {:2} \right.\]

    \[\frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x - 3}} = 0 \]

    \[{x^2} - 4x + 3 = 0\]

    \[{x_1} = 1 {x_2} = 3 \notin OD3\]

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 1.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>