Решение простейших показательных уравнений

Рассмотрим решение простейших показательных уравнений, приводимых к уравнениям вида

${a^{f(x)}} = b$

с помощью свойств степеней:

${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}$

${a^m}:{a^n} = {a^{m - n}} (\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}})$

${({a^m})^n} = {a^{mn}}$

$\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$

$\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ - n}}$

${a^0} = 1$

${a^1} = a$

$1){({6^{x + 3}})^{x - 4}} = {(\frac{1}{6})^x} \cdot {36^{x + 6}}$

ОДЗ (Область допустимых значений уравнения) — x∈R.

Приводим все степени к основанию 6

${6^{(x + 3)(x - 4)}} = {6^{ - x}} \cdot {6^{2(x + 6)}}$

Упрощаем правую часть

${6^{(x + 3)(x - 4)}} = {6^{ - x + 2(x + 6)}}$

Приравниваем показатели степеней

$(x + 3)(x - 4) = - x + 2(x + 6)$

Раскрываем скобки\

${x^2} - 4x + 3x - 12 = - x + 2x + 12$

Упрощаем

${x^2} - x - 12 = x + 12$

Переносим все слагаемые в левую часть, изменяя при переносе знаки слагаемых на противоположные

${x^2} - x - 12 - x - 12 = 0$

${x^2} - 2x - 24 = 0$

и решаем квадратное уравнение:

$D = {b^2} - 4ac = {( - 2)^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 24) =$

$= 4 + 96 = 100 > 0,$

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{2 \pm \sqrt {100} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{2 \pm 10}}{2},$

${x_1} = \frac{{2 + 10}}{2} = 6,{x_2} = \frac{{2 - 10}}{2} = - 4.$

Ответ: 6; -4.

$2)\frac{{{3^{{x^2}}}}}{{27}} = {9^x}$

ОДЗ: x∈R.

Приводим обе части уравнения к степени с основанием 3:

$\frac{{{3^{{x^2}}}}}{{{3^3}}} = {3^{2x}}$

${3^{{x^2} - 3}} = {3^{2x}}$

Приравниваем показатели

${x^2} - 3 = 2x$

${x^2} - 2x - 3 = 0$

и решаем квадратное уравнение:

${x_1} = 3; {x_2} = - 1.$

Ответ: 3; -1.

$3)\sqrt[3]{{{{625}^{3 - x}}}} = \sqrt[4]{{{{125}^{x + 2}}}}$

ОДЗ: x∈R.

Приводим 625 и 125 к степени с основанием 5:

$\sqrt[3]{{{5^{4(3 - x)}}}} = \sqrt[4]{{{5^{3(x + 2)}}}}$

Заменяем корень степенью с дробным показателем:

${5^{\frac{{12 - 4x}}{3}}} = {5^{\frac{{3x + 6}}{4}}}$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{{12 - 4x}}{3} = \frac{{3x + 6}}{4}$

По основному свойству пропорции

$4(12 - 4x) = 3(3x + 6)$

Отсюда

$48 - 16x = 9x + 18$

$- 16x - 9x = 18 - 48$

$- 25x = - 30 \left| {:( - 25)} \right.$

$x = \frac{{30}}{{25}}$

$x = \frac{6}{5}$

$x = 1,2$

Ответ: 1,2.

$4){49^x} \cdot {7^{\frac{{6 - 2x}}{{x - 3}}}} = 1$

ОДЗ: x-3≠0 => x≠3.

Приводим обе части уравнения к степеням с основанием 7:

${7^{2x}} \cdot {7^{\frac{{6 - 2x}}{{x - 3}}}} = {7^0}$

${7^{2x + \frac{{6 - 2x}}{{x - 3}}}} = {7^0}$

Приравниваем показатели

$2{x^{\backslash (x - 3)}} + \frac{{6 - 2{x^{\backslash 1}}}}{{x - 3}} = 0$

$\frac{{2{x^2} - 6x + 6 - 2x}}{{x - 3}} = 0$

$\frac{{2{x^2} - 8x + 6}}{{x - 3}} = 0 \left| {:2} \right.$

$\frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x - 3}} = 0$

${x^2} - 4x + 3 = 0$

${x_1} = 1 {x_2} = 3 \notin OD3$

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 1.

Добавить комментарий Отменить ответ