Показательные уравнения. Примеры

Продолжаем рассматривать показательные уравнения. Примеры решения показательных уравнений, в которых задействованы степени с одинаковыми показателями — наш следующий шаг на этом пути.

В этих примерах акцент сделан на следующих свойствах степеней:

${a^n} \cdot {b^n} = {(ab)^n}$

$\frac{{{a^n}}}{{{b^n}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^n}$

$1){\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} \cdot {\left( {\frac{{16}}{{27}}} \right)^x} = \frac{4}{{81}}$

Преобразуем произведение степеней с одинаковыми показателями:

${\left( {\frac{3}{4} \cdot \frac{{16}}{{27}}} \right)^x} = \frac{4}{{81}}$

Упрощаем:

${\left( {\frac{{\mathop {\overline 3 }\limits^1 \cdot \mathop {\overline {16} }\limits^2 }}{{\mathop {\underline 4 }\limits_1 \cdot \mathop {\underline {27} }\limits_9 }}} \right)^x} = \frac{4}{{81}}$

${\left( {\frac{2}{9}} \right)^x} = \frac{4}{{81}}$

Пришли к простейшему показательному уравнению. Приводим обе части уравнения к степеням с одинаковыми основаниями

${\left( {\frac{2}{9}} \right)^x} = {\left( {\frac{2}{9}} \right)^2}$

Теперь можем приравнять показатели:

$x = 2$

Ответ: 2.

$2){11^x} \cdot {2^{x - 3}} = 0,125 \cdot {22^{16 - 3x}}$

Привести обе части уравнения к степени с одинаковым основанием 22 мешает 0,125.

$0,125 = \frac{{125}}{{1000}} = \frac{1}{8}.$

Таким образом, чтобы избавиться от 0,125, обе части уравнения умножаем на 8:

${11^x} \cdot {2^{x - 3}} = 0,125 \cdot {22^{16 - 3x}} \left| { \cdot 8} \right.$

${11^x} \cdot {2^{x - 3}} \cdot 8 = 0,125 \cdot 8 \cdot {22^{16 - 3x}}$

8 представим как степень двойки и выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями:

${11^x} \cdot {2^{x - 3}} \cdot {2^3} = 1 \cdot {22^{16 - 3x}}$

${11^x} \cdot {2^{x - 3 + 3}} = {22^{16 - 3x}}$

Теперь можем умножить степени с одинаковыми показателями:

${11^x} \cdot {2^x} = {22^{16 - 3x}}$

${22^x} = {22^{16 - 3x}}$

и приравнять показатели степеней:

$x = 16 - 3x$

$x + 3x = 16$

$4x = 16$

$x = 4$

Ответ: 4.

Добавить комментарий Отменить ответ