Показательные уравнения. Примеры

Продолжаем рассматривать показательные уравнения. Примеры решения показательных уравнений, в которых задействованы степени с одинаковыми показателями — наш следующий шаг на этом пути.

В этих примерах акцент сделан на следующих свойствах степеней:

    \[{a^n} \cdot {b^n} = {(ab)^n}\]

    \[\frac{{{a^n}}}{{{b^n}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^n}\]

 

    \[1){\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} \cdot {\left( {\frac{{16}}{{27}}} \right)^x} = \frac{4}{{81}}\]

Преобразуем произведение степеней с одинаковыми показателями:

    \[{\left( {\frac{3}{4} \cdot \frac{{16}}{{27}}} \right)^x} = \frac{4}{{81}}\]

Упрощаем:

    \[{\left( {\frac{{\mathop {\overline 3 }\limits^1 \cdot \mathop {\overline {16} }\limits^2 }}{{\mathop {\underline 4 }\limits_1 \cdot \mathop {\underline {27} }\limits_9 }}} \right)^x} = \frac{4}{{81}}\]

    \[{\left( {\frac{2}{9}} \right)^x} = \frac{4}{{81}}\]

Пришли к простейшему показательному уравнению. Приводим обе части уравнения к степеням с одинаковыми основаниями

    \[{\left( {\frac{2}{9}} \right)^x} = {\left( {\frac{2}{9}} \right)^2}\]

Теперь можем приравнять показатели:

    \[x = 2\]

Ответ: 2.

    \[2){11^x} \cdot {2^{x - 3}} = 0,125 \cdot {22^{16 - 3x}}\]

Привести обе части уравнения к степени с одинаковым основанием 22 мешает 0,125.

    \[0,125 = \frac{{125}}{{1000}} = \frac{1}{8}.\]

Таким образом, чтобы избавиться от 0,125, обе части уравнения умножаем на 8:

    \[{11^x} \cdot {2^{x - 3}} = 0,125 \cdot {22^{16 - 3x}} \left| { \cdot 8} \right.\]

    \[{11^x} \cdot {2^{x - 3}} \cdot 8 = 0,125 \cdot 8 \cdot {22^{16 - 3x}} \]

8 представим как степень двойки и выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями:

    \[{11^x} \cdot {2^{x - 3}} \cdot {2^3} = 1 \cdot {22^{16 - 3x}} \]

    \[{11^x} \cdot {2^{x - 3 + 3}} = {22^{16 - 3x}}\]

Теперь можем умножить степени с одинаковыми показателями:

    \[{11^x} \cdot {2^x} = {22^{16 - 3x}}\]

    \[ {22^x} = {22^{16 - 3x}}\]

и приравнять показатели степеней:

    \[x = 16 - 3x\]

    \[x + 3x = 16\]

    \[4x = 16\]

    \[x = 4\]

Ответ: 4.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *