Простейшие логарифмические уравнения

Простейшими логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

    \[{\log _a}f(x) = c,\]

где

    \[a > 0,a \ne 1\]

Простейшие логарифмические уравнения можно решить на основании определения логарифма.

    \[{\log _a}f(x) = c\]

По определению логарифма, с — это показатель степени, в который надо возвести основание a, чтобы получить выражение f(x), стоящее под знаком логарифма, то есть

    \[f(x) = {a^c}\]

(Легко запомнить расположение a и c с помощью такой ассоциации: то, что внизу, идёт вниз, то, что вверху — идёт вверх).

Некоторые предпочитают оформлять решение на один шаг длиннее:

    \[{\log _a}f(x) = c\]

    \[{\log _a}f(x) = {\log _a}{a^c}\]

    \[f(x) = {a^c}\]

При решении логарифмических уравнений нужно установить область допустимых значений уравнения либо выполнить проверку найденных корней. Однако для простейших логарифмических уравнений в некоторых случаях это можно не делать.

Под знаком логарифма должно стоять положительное число: f(x)>0. Однако, поскольку

    \[f(x) = {a^c},\]

а любая степень положительного числа a является положительным числом:

    \[{a^c} > 0, \Rightarrow f(x) > 0.\]

Поэтому посторонние корни при решении таких уравнений не появятся, и область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма можно не искать.

Если же в основании выражения присутствует переменная, без ОДЗ обойтись не получится.

    \[{\log _{a(x)}}f(x) = c\]

    \[{\log _{a(x)}}f(x) = {\log _{a(x)}}{(a(x))^c}\]

    \[f(x) = {(a(x))^c}\]

ОДЗ:

    \[\left\{ \begin{array}{l} f(x) > 0,\\ a(x) > 0,\\ a(x) \ne 1. \end{array} \right.\]

Но и в этом случае, так как 

    \[a(x) > 0,\]

то и

    \[{(a(x))^c} > 0, \Rightarrow f(x) > 0,\]

и первое из условий выполняется автоматически. Следовательно, для нахождения ОДЗ достаточно решить систему из двух неравенств:

    \[\left\{ \begin{array}{l} a(x) > 0,\\ a(x) \ne 1. \end{array} \right.\]

В следующий раз рассмотрим примеры решения простейших логарифмических уравнений.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *