Логарифмическая функция

Логарифмическая функция является одной из основных элементарных функций.

Определение.

Логарифмическая функция — это функция вида

    \[y = {\log _a}x,\]

где a>0, a≠1.

1) Область определения логарифмической функции — множество положительных чисел x>0:

    \[D({\log _a}x):x \in (0;\infty )\]

2) Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел: y∈R

    \[E({\log _a}x):y \in ( - \infty ;\infty )\]

3) Логарифмическая функция не имеет наибольшего и наименьшего значений (не ограничена).

4) Функция не является ни чётной, ни нечётной.

5) Нуль логарифмической функции (y=0): x=1.

То есть логарифмическая функция пересекает ось Ox в точке (1;0).

Ось Oy не пересекает.

6) При a>1

— логарифмическая функция возрастает на всей области определения.

Промежутки знакопостоянства:

— функция принимает положительные значения при x>1:

    \[x > 1, \Rightarrow y = {\log _a}x > 0\]

— функция принимает отрицательные значения при 0<x<1:

    \[{\rm{0 < }}x < 1, \Rightarrow y = {\log _a}x < 0.\]

 

logarifmicheskaya-funkciya

 

При 0<a<1

— логарифмическая функция убывает на всей области определения.

Промежутки знакопостоянства:

— функция принимает положительные значения при 0<x<1:

    \[{\rm{0 < }}x < 1, \Rightarrow y = {\log _a}x > 0\]

— функция принимает отрицательные значения при x>1:

    \[x > 1, \Rightarrow y = {\log _a}x < 0\]

 

logarifmicheskaya-funkciya-grafik-svojstva

 

7) Для логарифмической функции выполняются соотношения:

    \[{\log _a}a = 1\]

Для

    \[{x_1} > 0,{x_2} > 0\]

    \[{\log _a}({x_1}{x_2}) = {\log _a}{x_1} + {\log _a}{x_2}\]

    \[{\log _a}\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = {\log _a}{x_1} - {\log _a}{x_2}\]

    \[{\log _a}{x^p} = p{\log _a}x\]

График логарифмической функции называют логарифмической кривой.

Ось Oy для графика логарифмической функции является вертикальной асимптотой (то есть, при стремлении x к нулю график приближается к оси Oy (но никогда её не пересечёт)).

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *