Как сравнивать степени

Как сравнивать степени с одинаковыми основаниями? С одинаковыми показателями? Можно ли сравнить степени, если и основания, и показатели различны?

Как и сравнение логарифмов, сравнение степеней основано на свойстве показательной функции.

Сравнение степеней с одинаковыми основаниями

Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.

Если основание степени меньше единицы (0<a<1), функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, знак неравенства между показателями степеней противоположен знаку между степенями.

С помощью схемы сравнение степеней с равными основаниями можно изобразить так:

Примеры.

№1. Сравнить значения выражений:

$1){\left( {\frac{2}{7}} \right)^{1,5}}u{\left( {\frac{2}{7}} \right)^{1,9}}.$

Решение:

Сравниваем показатели степеней: 1,5<1,9.

Основание a=2/7 меньше единицы, функция убывает, знак неравенства между степенями меняется на противоположный:

${\left( {\frac{2}{7}} \right)^{1,5}} > {\left( {\frac{2}{7}} \right)^{1,9}}.$

$2){(5,2)^{\sqrt 2 }}u{(5,2)^{\sqrt 3 }}.$

Решение:

Сравниваем показатели степеней:

$\sqrt 2 < \sqrt 3 .$

Основание a=5,2 больше единицы, функция возрастает, знак неравенства между степенями не меняется:

${(5,2)^{\sqrt 2 }} < {(5,2)^{\sqrt 3 }}.$

№2. Сравнить показатели m и n, если известно, что для степеней выполняется неравенство:

$1){(0,21)^m} < {(0,21)^n}.$

Решение:

Основание a=0,21<1, функция убывает, поэтому знак неравенства между показателя степеней нужно изменить на противоположный: m>n.

$2){(\sqrt 5 )^m} < {(\sqrt 5 )^n}.$

Решение:

Основание

$a = \sqrt 5 > 1,$

функция возрастает, поэтому знак неравенства между показателями степеней не изменяется: m<n.

Сравнение степеней с одинаковыми показателями.

1) Для возрастающих функций ( x>0):

$\left. \begin{array}{l} 1 < {a_1} < {a_2}\\ x > 0 \end{array} \right\} \Rightarrow a_1^x < a_2^x$

$\left. \begin{array}{l} 1 < {a_1} < {a_2}\\ - x < 0 \end{array} \right\} \Rightarrow a_1^{ - x} > a_2^{ - x}$

Пример.

Для положительных значений аргумента

${(1,5)^x} < {2^x} < {3^x},$

например,

${(1,5)^2} < {2^2} < {3^2}.$

Для отрицательных значений аргумента

${3^{ - x}} < {2^{ - x}} < {(1,5)^{ - x}},$

например,

${3^{ - 4}} < {2^{ - 4}} < {(1,5)^{ - 4}}.$

sravnenie-stepenej

2) Для убывающих функций:

$\left. \begin{array}{l} 0 < {a_1} < {a_2} < 1\\ x > 0 \end{array} \right\} \Rightarrow a_1^x > a_2^x$

$\left. \begin{array}{l} 0 < {a_1} < {a_2} < 1\\ - x < 0 \end{array} \right\} \Rightarrow a_1^{ - x} > a_2^{ - x}$

Пример.

Для положительных значений аргумента

${\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} < {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x},$

например,

${\left( {\frac{1}{3}} \right)^5} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} < {\left( {\frac{2}{3}} \right)^5}.$

Для отрицательных значений аргумента:

${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - x}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - x}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - x}},$

например,

${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - 3}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 3}}.$

sravnit-stepeni

Как сравнивать степени, если и основания, и показатели различны?

Можно попробовать, например, сравнить каждую из степеней с единицей. Любая степень с основанием, большим единицы, при положительных значениях аргумента принимает значения, большие единицы:

$\left. \begin{array}{l} a > 1\\ x > 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {a^x} > 1,$

при отрицательных — меньшие 1:

$\left. \begin{array}{l} a > 1\\ - x < 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {a^{ - x}} < 1.$

Если основание меньше единицы — соответственно,

$\left. \begin{array}{l} 0 < a < 1\\ x > 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {a^x} < 1,$

$\left. \begin{array}{l} 0 < a < 1\\ - x < 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {a^{ - x}} > 1.$

Пример.

Сравнить

${\left( {\frac{8}{9}} \right)^{10}}u{(1,2)^{\sqrt 3 }}.$

Решение:

$\left. \begin{array}{l} {\left( {\frac{8}{9}} \right)^{10}} < 1,\\ {(1,2)^{\sqrt 3 }} > 1 \end{array} \right\} \Rightarrow {\left( {\frac{8}{9}} \right)^{10}} < {(1,2)^{\sqrt 3 }}.$

В алгебре сравнивать степени чаще всего приходится при решении показательных неравенств.

Как решать показательные неравенства, мы рассмотрим позже.

Добавить комментарий Отменить ответ