Как сравнивать степени

Как сравнивать степени с одинаковыми основаниями? С одинаковыми показателями? Можно ли сравнить степени, если и основания, и показатели различны?

Как и сравнение логарифмов, сравнение степеней основано на свойстве показательной функции.

Сравнение степеней с одинаковыми основаниями

  • Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.
  • Если основание степени меньше единицы (0<a<1), функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, знак неравенства между показателями степеней противоположен знаку между степенями.

С помощью схемы сравнение степеней с равными основаниями можно изобразить так:

Примеры.

№1. Сравнить значения выражений:

    \[1){\left( {\frac{2}{7}} \right)^{1,5}}u{\left( {\frac{2}{7}} \right)^{1,9}}.\]

Решение:

Сравниваем показатели степеней: 1,5<1,9.

Основание a=2/7 меньше единицы, функция убывает, знак неравенства между степенями меняется на противоположный:

    \[{\left( {\frac{2}{7}} \right)^{1,5}} > {\left( {\frac{2}{7}} \right)^{1,9}}.\]

    \[2){(5,2)^{\sqrt 2 }}u{(5,2)^{\sqrt 3 }}.\]

Решение:

Сравниваем показатели степеней:

    \[\sqrt 2 < \sqrt 3 .\]

Основание a=5,2 больше единицы, функция возрастает, знак неравенства между степенями не меняется:

    \[{(5,2)^{\sqrt 2 }} < {(5,2)^{\sqrt 3 }}.\]

№2. Сравнить показатели m и n, если известно, что для степеней выполняется неравенство:

    \[1){(0,21)^m} < {(0,21)^n}.\]

Решение:

Основание a=0,21<1, функция убывает, поэтому знак неравенства между показателя степеней нужно изменить на противоположный: m>n.

    \[2){(\sqrt 5 )^m} < {(\sqrt 5 )^n}.\]

Решение:

Основание

    \[a = \sqrt 5 > 1,\]

функция возрастает, поэтому знак неравенства между показателями степеней не изменяется: m<n.

Сравнение степеней с одинаковыми показателями.

1) Для возрастающих функций ( x>0):

    \[\left. \begin{array}{l} 1 < {a_1} < {a_2}\\ x > 0 \end{array} \right\} \Rightarrow a_1^x < a_2^x\]

    \[\left. \begin{array}{l} 1 < {a_1} < {a_2}\\ - x < 0 \end{array} \right\} \Rightarrow a_1^{ - x} > a_2^{ - x}\]

Пример.

Для положительных значений аргумента

    \[{(1,5)^x} < {2^x} < {3^x},\]

например,

    \[{(1,5)^2} < {2^2} < {3^2}.\]

Для отрицательных значений аргумента

    \[{3^{ - x}} < {2^{ - x}} < {(1,5)^{ - x}},\]

например,

    \[{3^{ - 4}} < {2^{ - 4}} < {(1,5)^{ - 4}}.\]

 

sravnenie-stepenej

2) Для убывающих функций:

    \[\left. \begin{array}{l} 0 < {a_1} < {a_2} < 1\\ x > 0 \end{array} \right\} \Rightarrow a_1^x > a_2^x\]

    \[\left. \begin{array}{l} 0 < {a_1} < {a_2} < 1\\ - x < 0 \end{array} \right\} \Rightarrow a_1^{ - x} > a_2^{ - x}\]

Пример.

Для положительных значений аргумента

    \[{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} < {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x},\]

например,

    \[{\left( {\frac{1}{3}} \right)^5} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} < {\left( {\frac{2}{3}} \right)^5}.\]

Для отрицательных значений аргумента:

    \[{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - x}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - x}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - x}},\]

например,

    \[{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - 3}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 3}}.\]

 

sravnit-stepeni

Как сравнивать степени, если и основания, и показатели различны?

Можно попробовать, например, сравнить каждую из степеней с единицей. Любая степень с основанием, большим единицы, при положительных значениях аргумента принимает значения, большие единицы:

    \[\left. \begin{array}{l} a > 1\\ x > 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {a^x} > 1,\]

при отрицательных — меньшие 1:

    \[\left. \begin{array}{l} a > 1\\ - x < 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {a^{ - x}} < 1.\]

Если основание меньше единицы — соответственно,

    \[\left. \begin{array}{l} 0 < a < 1\\ x > 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {a^x} < 1,\]

    \[\left. \begin{array}{l} 0 < a < 1\\ - x < 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {a^{ - x}} > 1.\]

Пример.

Сравнить

    \[{\left( {\frac{8}{9}} \right)^{10}}u{(1,2)^{\sqrt 3 }}.\]

Решение:

    \[\left. \begin{array}{l} {\left( {\frac{8}{9}} \right)^{10}} < 1,\\ {(1,2)^{\sqrt 3 }} > 1 \end{array} \right\} \Rightarrow {\left( {\frac{8}{9}} \right)^{10}} < {(1,2)^{\sqrt 3 }}.\]

В алгебре сравнивать степени чаще всего приходится при решении показательных неравенств.

Как решать показательные неравенства, мы рассмотрим позже.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *