Решение простейших показательных неравенств

Решение простейших показательных неравенств вида

    \[{a^x} > b\]

и

    \[{a^{f(x)}} > {a^{g(x)}}\]

основывается на свойстве показательной функции

    \[y = {a^x},\]

которая возрастает при a>1 и убывает при 0<a<1.

Рассмотрим решение простейших показательных неравенств на конкретных примерах.

    \[1){10^{5x + 2}} \ge 0,001\]

Приводим обе части неравенства к степеням с одинаковым основанием.

    \[{10^{5x + 2}} \ge {10^{ - 3}}\]

Так как 10>1, показательная функция

    \[y = {10^x}\]

возрастает, знак неравенства между показателями степеней не изменяется:

    \[5x + 2 \ge - 3\]

Это — линейное неравенство. Алгоритм решения: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

    \[5x \ge - 3 - 2\]

    \[5x \ge - 5\_\_\_\left| {:5 > 0} \right.\]

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не меняется:

    \[x \ge - 1\]

Полученное решение изобразим на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое, -1 отмечаем закрашенной точкой:

reshenie-prostejshih-pokazatelnyh-neravenstv

Ответ: [-1; ∞).

    \[2){0,09^{x + 4}} > 0,027\]

Приводим обе части неравенства к степеням с одинаковым основанием:

    \[{(0,3)^{2(x + 4)}} > {(0,3)^3}\]

Так как основание 0,3<1, показательная функция

    \[y = {(0,3)^x}\]

убывает, знак неравенства между показателями степеней изменяется на противоположный:

    \[2(x + 4) < 3\]

    \[2x + 8 < 3\]

    \[2x < 3 - 8\]

    \[2x < - 5\_\_\_\left| {:2 > 0} \right.\]

    \[x < - 2,5\]

Изобразим решение неравенства на числовой прямой. Так как неравенство строгое, -2,5 отмечается выколотой точкой:

primery-reshenie-prostejshih-pokazatelnyh-neravenstv

Ответ: (-∞; -2,5).

    \[3){7^{2{x^2} - 4x + 3}} \le {7^{{x^2}}}\]

Так как основание 7>1, показательная функция возрастает, знак неравенства между показателями не меняется:

    \[2{x^2} - 4x + 3 \le {x^2}\]

    \[2{x^2} - 4x + 3 - {x^2} \le 0\]

    \[{x^2} - 4x + 3 \le 0\]

Это неравенство — квадратичное. Решим его методом интервалов.

Ищем нули функции y=x²-4x+3, то есть решаем квадратное уравнение

    \[{x^2} - 4x + 3 = 0\]

Полученные корни x1=1, x2=3 отмечаем на числовой прямой (закрашенными точками, так как неравенство нестрогое):

reshit-prostejshie-pokazatelnye-neravenstva

Ответ: [1; 3].

    \[4){\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2}}} < \frac{{16}}{{81}}\]

Приводим обе части к степеням с одинаковым основанием

    \[{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2}}} < {(\frac{2}{3})^4}\]

Так как основание 2/3 меньше единицы, показательная функция убывает, поэтому знак неравенства между показателями степеней изменяется на противоположный:

    \[{x^2} > 4\]

    \[{x^2} - 4 > 0\]

Получили квадратичное неравенство. Решим его методом интервалов.

    \[{x^2} - 4 = 0\]

    \[{x_1} = - 2;{x_2} = 2\]

Решение неравенства отметим на числовой прямой:

kak-reshat-prostejshie-pokazatelnye-neravenstva

 

Ответ: (-∞; -2)U(2; ∞).

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>