Показательные уравнения: вынесение общего множителя

Показательные уравнения: вынесение вынесение общего множителя за скобки — следующий шаг в рассмотрении видов показательных уравнений и способов их решения.

Признаки показательного уравнения, решаемого вынесением общего множителя за скобки:

1) все степени имеют одинаковые основания;

2) все показатели степеней имеют одинаковые коэффициенты при переменных.

Количество степеней может быть любым.

Выносить за скобки можно степень с любым показателем, но удобнее всего в качестве общего множителя вынести степень с наименьшим показателем если основание a>1, с наибольшим — при a<1.

Вынести за скобки общий множитель — значит, каждое слагаемое разделить на этот множитель. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаем. При вычитании  наименьшего показателя получим все степени с положительными показателями (в противном случае появятся степени с отрицательными показателями и придётся иметь дело с дробями, что менее удобно).

В общем виде решение показательных уравнений вынесением общего множителя за скобки схематически можно записать так:

    \[{k_1}{a^{kx + {b_1}}} + {k_2}{a^{kx + {b_2}}} + ... + {k_n}{a^{kx + {b_n}}} = d\]

Если

    \[kx + {b_m}\]

- наименьший из показателей, то в качестве общего множителя выносим за скобки степень с этим показателем:

    \[{a^{kx + {b_m}}} \cdot (\frac{{{k_1}{a^{kx + {b_1}}}}}{{{a^{kx + {b_m}}}}} + \frac{{{k_2}{a^{kx + {b_2}}}}}{{{a^{kx + {b_m}}}}} + ... + \]

    \[ + \frac{{{k_n}{a^{kx + {b_n}}}}}{{{a^{kx + {b_m}}}}}) = d\]

    \[{a^{kx + {b_m}}} \cdot ({k_1}{a^{kx + {b_1} - (kx + {b_m})}} + \]

    \[ + ... + {k_n}{a^{kx + {b_n} - (kx + {b_m})}}) = d\]

    \[{a^{kx + {b_m}}} \cdot ({k_1}{a^{kx + {b_1} - kx - {b_m}}} + \]

    \[ + ... + {k_n}{a^{kx + {b_n} - kx - {b_m}}}) = d\]

Все слагаемые с иксами в показателях степеней — противоположные числа — взаимно уничтожаются:

    \[{a^{kx + {b_m}}} \cdot ({a^{{b_1} - {b_m}}} + {a^{{b_2} - {b_m}}} + \]

    \[ + ... + {a^{{b_n} - {b_m}}}) = d\]

Таким образом, с скобках получаем некоторое число

    \[{a^{{b_1} - {b_m}}} + {a^{{b_2} - {b_m}}} + ... + {a^{{b_n} - {b_m}}} = c\]

Разделив обе части уравнения на это число c, получим простейшее показательное уравнение:

    \[{a^{kx + {b_m}}} = \frac{d}{c}.\]

Примеры.

    \[1){5^{x + 2}} - {5^x} = 120\]

5>1, выносим за скобки степень с меньшим показателем (он равен x):

    \[{5^x} \cdot (\frac{{{5^{x + 2}}}}{{{5^x}}} - \frac{{{5^x}}}{{{5^x}}}) = 120\]

    \[{5^x} \cdot ({5^{x + 2 - x}} - 1) = 120\]

    \[{5^x} \cdot ({5^2} - 1) = 120\]

    \[{5^x} \cdot 24 = 120\_\_\_\left| {:24} \right.\]

    \[{5^x} = 5\]

    \[x = 1\]

Ответ: 1.

    \[2){5^{1 - 2x}} + 4 \cdot {5^{2 - 2x}} - {5^{3 - 2x}} = - 0,8\]

5>1, выносим за скобки общий множитель — степень с наименьшим показателем (1-2x):

    \[{5^{1 - 2x}} \cdot (\frac{{{5^{1 - 2x}}}}{{{5^{1 - 2x}}}} + \frac{{4 \cdot {5^{2 - 2x}}}}{{{5^{1 - 2x}}}} - \frac{{{5^{3 - 2x}}}}{{{5^{1 - 2x}}}}) = - 0,8\]

    \[{5^{1 - 2x}} \cdot (1 + 4 \cdot {5^{2 - 2x - 1 + 2x}} - {5^{3 - 2x - 1 + 2x}}) = \]

    \[ = - 0,8\]

    \[{5^{1 - 2x}} \cdot (1 + 4 \cdot {5^1} - {5^2}) = - 0,8\]

    \[{5^{1 - 2x}} \cdot ( - 4) = - 0,8\_\_\_\left| {:( - 4)} \right.\]

    \[{5^{1 - 2x}} = 0,2\]

    \[{5^{1 - 2x}} = {5^{ - 1}}\]

Приравниваем показатели:

    \[1 - 2x = - 1\]

    \[ - 2x = - 2\]

    \[x = 1\]

Ответ: 1.

    \[3){2^{12x - 1}} - {4^{6x - 1}} + {8^{4x - 1}} - {16^{3x - 1}} = 640\]

Приводим все степени к основанию 2:

    \[{2^{12x - 1}} - {({2^2})^{6x - 1}} + {({2^3})^{4x - 1}} - {({2^4})^{3x - 1}} = \]

    \[ = 640\]

    \[{2^{12x - 1}} - {2^{12}}^{x - 2} + {2^{12}}^{x - 3} - {2^{12}}^{x - 4} = 640\]

Степень с наименьшим показателем (12x-4) выносим за скобки:

    \[{2^{12x - 4}} \cdot (\frac{{{2^{12x - 1}}}}{{{2^{12x - 4}}}} - \frac{{{2^{12}}^{x - 2}}}{{{2^{12x - 4}}}} + \frac{{{2^{12}}^{x - 3}}}{{{2^{12x - 4}}}} - 1) = \]

    \[ = 640\]

    \[{2^{12x - 4}} \cdot ({2^3} - {2^2} + {2^1} - 1) = 640\]

    \[{2^{12x - 4}} \cdot (8 - 4 + 2 - 1) = 640\]

    \[{2^{12x - 4}} \cdot 5 = 640\_\_\_\left| {:5} \right.\]

    \[{2^{12x - 4}} = 128\]

Приводим к степеням с одинаковыми основаниями

    \[{2^{12x - 4}} = {2^7}\]

и приравниваем показатели

    \[12x - 4 = 7\]

    \[12x = 11\]

    \[x = \frac{{11}}{{12}}\]

Ответ: 11/12.

    \[4){3^{2{x^2} - x + 1}} - 2 \cdot {3^{2{x^2} - x - 1}} = 63\]

Выносим за скобки степень с меньшим показателем (2x²-x-1):

    \[{3^{2{x^2} - x - 1}} \cdot (\frac{{{3^{2{x^2} - x + 1}}}}{{{3^{2{x^2} - x - 1}}}} - \frac{{2 \cdot {3^{2{x^2} - x - 1}}}}{{{3^{2{x^2} - x - 1}}}}) = 63\]

    \[{3^{2{x^2} - x - 1}} \cdot ({3^{1 + 1}} - 2) = 63\]

    \[{3^{2{x^2} - x - 1}} \cdot 7 = 63\_\_\_\left| {:7} \right.\]

    \[{3^{2{x^2} - x - 1}} = 9\]

    \[{3^{2{x^2} - x - 1}} = {3^2}\]

Приравниваем показатели:

    \[2{x^2} - x - 1 = 2\]

    \[2{x^2} - x - 3 = 0\]

Находим корни квадратного уравнения:

    \[{x_1} = 1,5;{x_2} = - 1.\]

Ответ: 1,5; -1.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>