Как решать показательные неравенства

Рассмотрим, как решать показательные неравенства, содержащих степени с разными основаниями. Решение таких неравенств аналогично решению соответствующих показательных уравнений.

    \[1){2^{{x^2} - x + 2}} - {5^{{x^2} - x}} > {5^{{x^2} - x - 1}} - {2^{{x^2} - x}}\]

Группируем степени с одинаковыми основаниями. Удобнее для этого развести их по разные стороны неравенства:

    \[{2^{{x^2} - x + 2}} + {2^{{x^2} - x}} > {5^{{x^2} - x - 1}} + {5^{{x^2} - x}}\]

Из каждой пары степеней выносим за скобки общий множитель — степень с меньшим показателем. Вынести за скобки общий множитель- значит, каждое слагаемое разделить на этот множитель. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляем прежним, а показатели вычитаем:

    \[{2^{{x^2} - x}} \cdot ({2^{{x^2} - x + 2 - ({x^2} - x)}} + 1) > {5^{{x^2} - x - 1}} \cdot (1 + \]

    \[ + {5^{{x^2} - x - ({x^2} - x - 1)}})\]

    \[{2^{{x^2} - x}} \cdot ({2^2} + 1) > {5^{{x^2} - x - 1}} \cdot (1 + {3^1})\]

Делить можно сразу на 20 (20=4∙5), но практика показывает, что деление в два этапа позволяет избежать возможных ошибок:

    \[{2^{{x^2} - x}} \cdot 5 > {5^{{x^2} - x - 1}} \cdot 4\_\_\_\left| {:5 > 0} \right.\]

    \[{2^{{x^2} - x}} > \frac{{{5^{{x^2} - x - 1}}}}{5} \cdot 4\_\_\_\left| {;4 > 0} \right.\]

    \[\frac{{{2^{{x^2} - x}}}}{4} > \frac{{{5^{{x^2} - x - 1}}}}{5}\]

    \[{2^{{x^2} - x - 2}} > {5^{{x^2} - x - 2}}\_\_\_\left| {:{5^{{x^2} - x - 2}}} \right. > 0\]

    \[{\left( {\frac{2}{5}} \right)^{{x^2} - x - 2}} > 1\]

    \[{\left( {\frac{2}{5}} \right)^{{x^2} - x - 2}} > {\left( {\frac{2}{5}} \right)^0}\]



style="display:inline-block;width:300px;height:250px"
data-ad-client="ca-pub-3369090798795252"
data-ad-slot="6244929729">

Так как основание 2/5<1, показательная функция

    \[y = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}\]

убывает, поэтому знак неравенства между показателями степеней изменяется на противоположный:

    \[{x^2} - x - 2 < 0\]

Квадратичное неравенство решим методом интервалов. Нули функции, стоящей в левой части неравенства — x1=-1; x2=2. Отмечаем их на числовой прямой.

kak-reshat-pokazatelnye-neravenstva

Для проверки знака возьмем нуль: 0²-0-2=-2, в промежуток, которому принадлежит нуль, ставим «-«. Остальные знаки расставляем в шахматном порядке.  Так как решаем неравенство, в котором левая часть меньше нуля, выбираем промежуток со знаком «-«.

Ответ: x ∈ (-1; 2).

Вариант неравенств такого вида — все степени имеют одинаковые основания, но отличаются коэффициентами при x в показателях.

    \[2){7^{x + 3}} + {7^{x + 2}} - 5 \cdot {7^{x + 1}} \le 51 \cdot {49^{\frac{1}{x}}}\]

В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем

    \[{7^{x + 1}} \cdot ({7^{x + 3 - (x + 1)}} + {7^{x + 2 - (x + 1)}} - \]

    \[ - 5) \le 51 \cdot {({7^2})^{\frac{1}{x}}}\]

    \[{7^{x + 1}} \cdot ({7^2} + {7^1} - 5) \le 51 \cdot {7^{\frac{2}{x}}}\]

    \[{7^{x + 1}} \cdot 51 \le 51 \cdot {7^{\frac{2}{x}}}\_\_\_\left| {;51 > 0} \right.\]

    \[{7^{x + 1}} \le {7^{\frac{2}{x}}}\]

Пришли к показательному неравенству простейшего вида. Так как основание 7>1, функция

    \[y = {7^x}\]

возрастает, знак неравенства между показателями не изменяется:

    \[x + 1 \le \frac{2}{x}\]

Чтобы решить это неравенство методом интервалов перенесем все слагаемые в левую часть и приведём дроби к наименьшему общему знаменателю:

    \[{x^{\backslash x}} + {1^{\backslash x}} - \frac{{{2^{\backslash 1}}}}{x} \le 0\]

    \[\frac{{{x^2} + x - 2}}{x} \le 0\]

    \[\frac{{{x^2} + x - 2}}{x} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + x - 2 = 0\\ x \ne 0 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = - 2;{x_2} = 1\\ x \ne 0 \end{array} \right.\]

Полученные точки отмечаем на числовой прямой (с учётом ОДЗ x≠0). Для проверки знака возьмём x=2:

    \[\frac{{{2^2} + 2 - 2}}{2} = 2 > 0,\]

в промежуток, которому принадлежит 2, ставим знак «+», остальные знаки чередуем в шахматном порядке:

kak-reshat-pokazatelnye-neravenstva-primery

Ответ:

    \[x \in ( - \infty ; - 2] \cup (0;1].\]

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>