Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств продолжим рассмотрением примеров, приводимых к простейшим с использованием свойств степеней.

Решение показательных неравенств тесно связано с решением соответствующего вида показательных уравнений. Отличие — в переходе от степеней к показателям степеней. В уравнениях из равенства степеней с одинаковыми основаниями следует равенство показателей степеней, в неравенствах же знак либо не изменяется (если основание a>1), либо меняется на противоположный (при 0<a<1).

Рассмотрим решение показательных неравенствах на конкретных примерах.

    \[1){({5^{x + 6}})^{x - 3}} \le {0,2^x} \cdot {25^{x - 5}}\]

ОДЗ: x∈R.

Приведём обе части неравенства к степеням с одинаковым основанием. Используем для этого свойства степеней.

Десятичную дробь сначала преобразуем в обыкновенную (как слышим, так и пишем) затем — в степень:

    \[0,2 = \frac{2}{{10}} = \frac{1}{5} = {5^{ - 1}};{0,2^x} = {({5^{ - 1}})^x} = {5^{ - x}}\]

    \[{5^{(x + 6)(}}^{x - 3)} \le {5^{ - x}} \cdot {5^{2(x - 5)}}\]

    \[{5^{{x^2} - 3x + 6}}^{x - 18} \le {5^{ - x + 2x - 10}}\]

Так как основание 5>1, показательная функция

    \[y = {5^x}\]

возрастает, поэтому знак неравенства между показателями степеней не изменяется:

    \[{x^2} + 3x - 18 \le x - 10\]

Переносим все слагаемые в левую часть, чтобы справа получить нуль:

    \[{x^2} + 2x - 8 \le 0\]

Это — квадратичное неравенство. Решим его методом интервалов. Ищем нули функции, стоящей в левой части неравенства, то есть решаем квадратное уравнение:

    \[{x^2} + 2x - 8 = 0\]

    \[{x_1} = - 4;{x_2} = 2\]

Полученные корни отметим на числовой прямой. Для проверки знака берём любое число из любого промежутка. Например, нуль:

    \[{0^2} + 2 \cdot 0 - 8 = - 8 < 0\]

В промежуток, которому принадлежит нуль, ставим «минус», остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Так как левая часть неравенства меньше либо равна нуля, выбираем промежуток со знаком «минус» и записываем ответ.

reshenie-pokazatelnyh-neravenstv

Ответ:

    \[x \in \left[ { - 4;2} \right].\]

    \[2){(\frac{\pi }{5})^{1 + \frac{2}{{x + 2}}}} \ge {\left( {\frac{\pi }{5}} \right)^{\frac{8}{{x + 4}}}}\]

ОДЗ: x+2≠0; x+4≠0, то есть x — любое число, кроме 2 и 4.

Так как π ≈ 3,14, основание

    \[\frac{\pi }{5} < 1,\]

показательная функция

    \[y = {(\frac{\pi }{5})^x}\]

убывает, поэтому знак неравенства между показателями степеней меняется на противоположный:

    \[1 + \frac{2}{{x + 2}} \le \frac{8}{{x + 4}}\]

Переносим все слагаемые в левую часть, чтобы справа остался нуль, и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

    \[{1^{\backslash (x + 2)(x + 4)}} + \frac{{{2^{\backslash (x + 4)}}}}{{x + 2}} - \frac{{{8^{\backslash (x + 2)}}}}{{x + 4}} \le 0\]

    \[\frac{{(x + 2)(x + 4) + 2(x + 4) - 8(x + 2)}}{{(x + 2)(x + 4)}} \le 0\]

    \[\frac{{{x^2} + 4x + 2x + 8 + 2x + 8 - 8x - 16}}{{(x + 2)(x + 4)}} \le 0\]

    \[\frac{{{x^2}}}{{(x + 2)(x + 4)}} \le 0\]

Это неравенство решаем методом интервалов. Ищем нули функции, то есть решаем уравнение

    \[\frac{{{x^2}}}{{(x + 2)(x + 4)}} = 0\]

Его корень — x=0. Так как x ², 0 — кратный корень чётной степени, следовательно, в нём — «петля».

На числовой прямой отмечаем 0 (неравенство нестрогое, точка закрашенная) и -2 и -4 (точки выколотые, так как не входят в ОДЗ).

Для проверки знака берём любое число из любого промежутка, например, 1:

    \[\frac{{{1^2}}}{{(1 + 2)(1 + 4)}} = \frac{1}{{15}} > 0,\]

получили положительное число, поэтому в промежутке, которому принадлежит 1, ставим знак «+». Остальные знаки расставляем в шахматном порядке («петля» позволяет это сделать. Знак в петле — «виртуальный», его ставят только для поддержания шахматного порядка).

reshenie-pokazatelnyh-neravenstv-primer

Отдельно стоящую закрашенную точку включаем в ответ.

Ответ:

    \[x \in ( - 4; - 2) \cup \{ 0\} .\]

    \[3){(0,6)^{x - 3}} < {(\frac{{125}}{{27}})^{ - \frac{4}{x}}} \cdot 2\frac{7}{9}\]

ОДЗ: x≠0, то есть x — любое число, кроме нуля.

Приводим обе части неравенства к степеням с одинаковым основанием:

    \[0,6 = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5};\]

    \[\frac{{125}}{{27}} = {(\frac{5}{3})^3} = {(\frac{3}{5})^{ - 3,}}{(\frac{{125}}{{27}})^{ - \frac{4}{x}}} = {(\frac{3}{5})^{\frac{{12}}{x}}};\]

смешанное число переводим в неправильную дробь

    \[2\frac{7}{9} = \frac{{25}}{9} = {(\frac{5}{3})^2} = {(\frac{3}{5})^{ - 2}}.\]

Приходим к неравенству

    \[{(\frac{3}{5})^{x - 3}} < {(\frac{3}{5})^{\frac{{12}}{x}}} \cdot {(\frac{3}{5})^{ - 2}}\]

далее —

    \[{(\frac{3}{5})^{x - 3}} < {(\frac{3}{5})^{\frac{{12}}{x} - 2}}\]

Так как основание 3/5 меньше единицы, показательная функция

    \[y = {(\frac{3}{5})^x}\]

убывает, знак неравенства между показателями степеней меняется на противоположный:

    \[x - 3 > \frac{{12}}{x} - 2\]

Переносим все слагаемые в левую часть, упрощаем и приводим дроби к общему знаменателю:

    \[{x^{\backslash x}} - \frac{{{{12}^{\backslash 1}}}}{x} - {1^{\backslash x}} > 0\]

    \[\frac{{{x^2} - x - 12}}{x} > 0\]

Это неравенство решим методом интервалов.

    \[\frac{{{x^2} - x - 12}}{x} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - x - 12 = 0;\\ x \ne 0 \end{array} \right.\]

    \[{x_1} = - 3;{x_2} = 4\]

Полученные точки отмечаем на числовой прямой (с учётом ОДЗ). Все они выколотые (так как неравенство строгое).

Для проверки знака возьмем 1. В 1 — «минус». Остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Так как в неравенстве левая часть больше нуля, выбираем промежутки со знаком «плюс» и записываем ответ.

reshenie-pokazatelnyh-neravenstv-na-primerah

Ответ:

    \[x \in ( - 3;0) \cup (4;\infty ).\]

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>