Решить показательное уравнение

Рассмотрим на примерах, как решить показательное уравнение методом введения параметра. Иногда этот приём позволяет преобразовать нестандартное уравнение, приводя его к понятному виду, например, к квадратному уравнению.

    \[1)(x + 1) \cdot {25^{x - 0,5}} - (5x + 7) \cdot {5^x} + 50 = 0\]

ОДЗ: x∈R.

Перепишем уравнение в виде

    \[0,2 \cdot (x + 1) \cdot {5^{2x}} - (5x + 7) \cdot {5^x} + 50 = 0\]

Пусть

    \[{5^x} = t,t > 0,\]

тогда получаем квадратное уравнение относительно переменной t:

    \[0,2 \cdot (x + 1) \cdot {t^2} - (5x + 7) \cdot t + 50 = 0\]

    \[a = 0,2 \cdot (x + 1);b = - (5x + 7);c = 50\]

    \[D = {b^2} - 4ac\]

    \[D = {( - (5x + 7))^2} - 4 \cdot 0,2 \cdot (x + 1) \cdot 50 = \]

    \[ = 25{x^2} + 70x + 49 - 40x - 40 = \]

    \[ = 25{x^2} + 30x + 9 = {(5x + 3)^2}\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}}\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{5x + 7 \pm \sqrt {{{(5x + 3)}^2}} }}{{2 \cdot 0,2 \cdot (x + 1)}} = \]

    \[ = \frac{{5x + 7 \pm \left| {5x + 3} \right|}}{{2 \cdot 0,2 \cdot (x + 1)}}\]

В данном случае не имеет значения, с каким знаком раскрывается модуль. В любом случае, получаем два одинаковых корня:

    \[{t_1} = \frac{{5x + 7 + 5x + 3}}{{2 \cdot 0,2 \cdot (x + 1)}} = \frac{{10 \cdot (x + 1)}}{{2 \cdot 0,2 \cdot (x + 1)}} = 25\]

    \[{t_2} = \frac{{5x + 7 - (5x + 3)}}{{2 \cdot 0,2 \cdot (x + 1)}} = \]

    \[ = \frac{4}{{2 \cdot 0,2 \cdot (x + 1)}} = \frac{{10}}{{x + 1}}\]

Обратная замена

    \[{5^x} = 25;{5^x} = \frac{{10}}{{x + 1}}\]

    \[1){5^x} = 25\]

    \[x = 2\]

    \[2){5^x} = \frac{{10}}{{x + 1}}\]

Для решения этого уравнения используем монотонность функций.

    \[f(x) = {5^x}\]

- возрастающая функция. f(x)>0.

    \[g(x) = \frac{{10}}{{x + 1}}\]

- убывающая функция. Так как f(x)>0, то и g(x) должна принимать только положительные значения. Это условие выполняется при x>0. На этом промежутке функция g(x) убывает. Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня. Подбором определяем, что x=1.

Ответ: 1; 2.

    \[2){({x^2} + 1)^2} + {2^{1 - \left| x \right|}} = \]

    \[ = {x^2} \cdot {2^{ - \left| x \right|}} + 2{x^2} + {2^{ - \left| x \right|}} + 2\]

ОДЗ: x∈R.

Преобразуем правую часть, сгруппировав слагаемые:

    \[{x^2} \cdot {2^{ - \left| x \right|}} + 2{x^2} + {2^{ - \left| x \right|}} + 2 = \]

    \[ = ({x^2} \cdot {2^{ - \left| x \right|}} + {2^{ - \left| x \right|}}) + (2{x^2} + 2) = \]

    \[ = {2^{ - \left| x \right|}}({x^2} + 1) + 2({x^2} + 1) = \]

    \[ = ({x^2} + 1)({2^{ - \left| x \right|}} + 2)\]

Перепишем уравнение в виде

    \[{({x^2} + 1)^2} - ({2^{ - \left| x \right|}} + 2)({x^2} + 1) + {2^{1 - \left| x \right|}} = 0\]

Замена

    \[{x^2} + 1 = t,t > 0\]

приводит к уравнению

    \[{t^2} - ({2^{ - \left| x \right|}} + 2) \cdot t + {2^{1 - \left| x \right|}} = 0\]

Это — квадратное уравнение относительно переменной t.

    \[a = 1;b = - ({2^{ - \left| x \right|}} + 2);c = {2^{1 - \left| x \right|}}\]

    \[D = {( - ({2^{ - \left| x \right|}} + 2))^2} - 4 \cdot 1 \cdot {2^{1 - \left| x \right|}} = \]

    \[ = {2^{ - 2\left| x \right|}} + 4 \cdot {2^{ - \left| x \right|}} + 4 - 4 \cdot 2 \cdot {2^{ - \left| x \right|}} = \]

    \[ = {2^{ - 2\left| x \right|}} - 4 \cdot {2^{ - \left| x \right|}} + 4 = {({2^{ - \left| x \right|}} - 2)^2}\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{{2^{ - \left| x \right|}} + 2 \pm \sqrt {{{({2^{ - \left| x \right|}} - 2)}^2}} }}{{2 \cdot 1}} = \]

    \[ = \frac{{{2^{ - \left| x \right|}} + 2 \pm \left| {{2^{ - \left| x \right|}} - 2} \right|}}{2}\]

    \[{t_1} = \frac{{{2^{ - \left| x \right|}} + 2 + {2^{ - \left| x \right|}} - 2}}{2} = {2^{ - \left| x \right|}}\]

    \[{t_2} = \frac{{{2^{ - \left| x \right|}} + 2 - {2^{ - \left| x \right|}} + 2}}{2} = 2\]

Обратная замена

    \[{x^2} + 1 = {2^{ - \left| x \right|}};{x^2} + 1 = 2\]

    \[1){x^2} + 1 = {2^{ - \left| x \right|}}\]

Для решения этого уравнения используем метод оценки.

    \[f(x) = {x^2} + 1 \ge 1;g(x) = {2^{ - \left| x \right|}} \le 1\]

Следовательно, уравнение равносильно системе

    \[\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 1 = 1;\\ {2^{ - \left| x \right|}} = 1. \end{array} \right.\]

Решаем первое уравнение:

    \[{x^2} + 1 = 1\]

    \[x = 0\]

Проверяем, удовлетворяет ли x=0 второму уравнению:

    \[{2^{ - \left| 0 \right|}} = 1\]

    \[1 = 1\]

Таким образом, x=1 — корень уравнения.

    \[2){x^2} + 1 = 2\]

    \[{x^2} = 1\]

    \[x = \pm 1\]

Ответ: -1; 0; 1.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>