Решить показательное уравнение

Рассмотрим на примерах, как решить показательное уравнение методом введения параметра. Иногда этот приём позволяет преобразовать нестандартное уравнение, приводя его к понятному виду, например, к квадратному уравнению.

$1)(x + 1) \cdot {25^{x - 0,5}} - (5x + 7) \cdot {5^x} + 50 = 0$

ОДЗ: x∈R.

Перепишем уравнение в виде

$0,2 \cdot (x + 1) \cdot {5^{2x}} - (5x + 7) \cdot {5^x} + 50 = 0$

Пусть

${5^x} = t,t > 0,$

тогда получаем квадратное уравнение относительно переменной t:

$0,2 \cdot (x + 1) \cdot {t^2} - (5x + 7) \cdot t + 50 = 0$

$a = 0,2 \cdot (x + 1);b = - (5x + 7);c = 50$

$D = {b^2} - 4ac$

$D = {( - (5x + 7))^2} - 4 \cdot 0,2 \cdot (x + 1) \cdot 50 =$

$= 25{x^2} + 70x + 49 - 40x - 40 =$

$= 25{x^2} + 30x + 9 = {(5x + 3)^2}$

${t_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}}$

${t_{1,2}} = \frac{{5x + 7 \pm \sqrt {{{(5x + 3)}^2}} }}{{2 \cdot 0,2 \cdot (x + 1)}} =$

$= \frac{{5x + 7 \pm \left| {5x + 3} \right|}}{{2 \cdot 0,2 \cdot (x + 1)}}$

В данном случае не имеет значения, с каким знаком раскрывается модуль. В любом случае, получаем два одинаковых корня:

${t_1} = \frac{{5x + 7 + 5x + 3}}{{2 \cdot 0,2 \cdot (x + 1)}} = \frac{{10 \cdot (x + 1)}}{{2 \cdot 0,2 \cdot (x + 1)}} = 25$

${t_2} = \frac{{5x + 7 - (5x + 3)}}{{2 \cdot 0,2 \cdot (x + 1)}} =$

$= \frac{4}{{2 \cdot 0,2 \cdot (x + 1)}} = \frac{{10}}{{x + 1}}$

Обратная замена

${5^x} = 25;{5^x} = \frac{{10}}{{x + 1}}$

$1){5^x} = 25$

$x = 2$

$2){5^x} = \frac{{10}}{{x + 1}}$

Для решения этого уравнения используем монотонность функций.

$f(x) = {5^x}$

— возрастающая функция. f(x)>0.

$g(x) = \frac{{10}}{{x + 1}}$

— убывающая функция. Так как f(x)>0, то и g(x) должна принимать только положительные значения. Это условие выполняется при x>0. На этом промежутке функция g(x) убывает. Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня. Подбором определяем, что x=1.

Ответ: 1; 2.

$2){({x^2} + 1)^2} + {2^{1 - \left| x \right|}} =$

$= {x^2} \cdot {2^{ - \left| x \right|}} + 2{x^2} + {2^{ - \left| x \right|}} + 2$

ОДЗ: x∈R.

Преобразуем правую часть, сгруппировав слагаемые:

${x^2} \cdot {2^{ - \left| x \right|}} + 2{x^2} + {2^{ - \left| x \right|}} + 2 =$

$= ({x^2} \cdot {2^{ - \left| x \right|}} + {2^{ - \left| x \right|}}) + (2{x^2} + 2) =$

$= {2^{ - \left| x \right|}}({x^2} + 1) + 2({x^2} + 1) =$

$= ({x^2} + 1)({2^{ - \left| x \right|}} + 2)$

Перепишем уравнение в виде

${({x^2} + 1)^2} - ({2^{ - \left| x \right|}} + 2)({x^2} + 1) + {2^{1 - \left| x \right|}} = 0$

Замена

${x^2} + 1 = t,t > 0$

приводит к уравнению

${t^2} - ({2^{ - \left| x \right|}} + 2) \cdot t + {2^{1 - \left| x \right|}} = 0$

Это — квадратное уравнение относительно переменной t.

$a = 1;b = - ({2^{ - \left| x \right|}} + 2);c = {2^{1 - \left| x \right|}}$

$D = {( - ({2^{ - \left| x \right|}} + 2))^2} - 4 \cdot 1 \cdot {2^{1 - \left| x \right|}} =$

$= {2^{ - 2\left| x \right|}} + 4 \cdot {2^{ - \left| x \right|}} + 4 - 4 \cdot 2 \cdot {2^{ - \left| x \right|}} =$

$= {2^{ - 2\left| x \right|}} - 4 \cdot {2^{ - \left| x \right|}} + 4 = {({2^{ - \left| x \right|}} - 2)^2}$

${t_{1,2}} = \frac{{{2^{ - \left| x \right|}} + 2 \pm \sqrt {{{({2^{ - \left| x \right|}} - 2)}^2}} }}{{2 \cdot 1}} =$

$= \frac{{{2^{ - \left| x \right|}} + 2 \pm \left| {{2^{ - \left| x \right|}} - 2} \right|}}{2}$

${t_1} = \frac{{{2^{ - \left| x \right|}} + 2 + {2^{ - \left| x \right|}} - 2}}{2} = {2^{ - \left| x \right|}}$

${t_2} = \frac{{{2^{ - \left| x \right|}} + 2 - {2^{ - \left| x \right|}} + 2}}{2} = 2$

Обратная замена

${x^2} + 1 = {2^{ - \left| x \right|}};{x^2} + 1 = 2$

$1){x^2} + 1 = {2^{ - \left| x \right|}}$

Для решения этого уравнения используем метод оценки.

$f(x) = {x^2} + 1 \ge 1;g(x) = {2^{ - \left| x \right|}} \le 1$

Следовательно, уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 1 = 1;\\ {2^{ - \left| x \right|}} = 1. \end{array} \right.$

Решаем первое уравнение:

${x^2} + 1 = 1$

$x = 0$

Проверяем, удовлетворяет ли x=0 второму уравнению:

${2^{ - \left| 0 \right|}} = 1$

$1 = 1$

Таким образом, x=1 — корень уравнения.

$2){x^2} + 1 = 2$

${x^2} = 1$

$x = \pm 1$

Ответ: -1; 0; 1.

Добавить комментарий Отменить ответ