Неравенства со степенями

Рассмотрим неравенств со степенями вида

    \[{a^{f(x)}} > {b^{f(x)}}\]

    \[{a^{f(x)}} > {b^{ - f(x)}}\]

Соответствующие показательные уравнения решаются делением либо умножением обеих частей на одну из степеней.

Поскольку степень с положительным основанием есть положительное число, деление или умножение на степень не приведёт к смене знака неравенства. Таким образом, решение таких видов неравенств со степенями аналогично решению уравнений и сводится к решению простейших показательных неравенств.

    \[{a^{f(x)}} > {b^{f(x)}}\_\_\_\left| : \right.{b^{f(x)}} > 0\]

    \[{\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f(x)}} > 1\]

    \[{\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f(x)}} > {\left( {\frac{a}{b}} \right)^0}\]

Примеры.

    \[1){2^{5x - 12}} \le {9^{5x - 12}}\_\_\_\left| : \right.{9^{5x - 12}} > 0\]

    \[{\left( {\frac{2}{9}} \right)^{5x - 12}} \le 1\]

    \[{\left( {\frac{2}{9}} \right)^{5x - 12}} \le {\left( {\frac{2}{9}} \right)^0}\]

Так как 2/9<1, показательная функция

    \[y = {\left( {\frac{2}{9}} \right)^x}\]

убывает, поэтому знак неравенства между показателями степеней меняется на противоположный:

    \[5x - 12 \ge 0\]

Решаем линейное неравенство:

    \[5x \ge 12\_\_\_\left| {:5 > 0} \right.\]

    \[x \ge 2,4\]

Решение отмечаем на числовой прямой и записываем ответ:

neravenstva-so-stepenyami

Ответ:

    \[x \in [2,4;\infty ).\]

    \[2){6^{2{x^2} - 3x - 5}} < {2^{2{x^2} - 3x - 5}}\_\_\_\left| : \right.{2^{2{x^2} - 3x - 5}} > 0\]

    \[{3^{2{x^2} - 3x - 5}} < 1\]

    \[{3^{2{x^2} - 3x - 5}} < {3^0}\]

Так как основание степени 3>1, показательная функция

    \[y = {3^x}\]

возрастает, знак неравенства между показателями не изменяется:

    \[2{x^2} - 3x - 5 < 0\]

Это квадратичное неравенство решим методом интервалов. Нули функции, стоящей в левой части неравенства — x1=-1; x2=2,5, Отмечаем эти точки на числовой прямой:

reshenie-neravenstv-so-stepenyami

 

Для проверки знака можно взять нуль:

    \[2 \cdot {0^2} - 3 \cdot 0 - 5 = - 5 < 0,\]

в промежутке, которому принадлежит нуль, ставим «-«, остальные знаки чередуем в шахматном порядке. Так как левая часть меньше нуля, выбираем промежуток со знаком «-» и записываем ответ.

Ответ:

    \[x \in ( - 1;2,5).\]

    \[{a^{f(x)}} > {b^{ - f(x)}}\_\_\_\left| \cdot \right.{b^{f(x)}} > 0\]

    \[{(ab)^{f(x)}} > 1\]

    \[{(ab)^{f(x)}} > {(ab)^0}\]

Примеры.

    \[1){7^{9 - 4x}} < {5^{4x - 8}}\_\_\_\left| { \cdot {5^{9 - 4x}}} \right. > 0\]

    \[{(35)^{9 - 4x}} < 1\]

    \[{(35)^{9 - 4x}} < {35^0}\]

Так как основание 35>1, функция

    \[y = {35^x}\]

возрастает, знак неравенства между показателями не изменяется:

    \[9 - 4x < 0\]

    \[ - 4x < - 9\_\_\_\left| {:( - 4) < 0} \right.\]

    \[x > 2,25\]

Решение неравенства отмечаем на числовой прямой и записываем ответ:

primery-neravenstv-so-stepenyami

Ответ:

    \[x \in (2,25;\infty ).\]

    \[2){4^{{x^2} - 16}} \ge {3^{16 - {x^2}}}\_\_\_\_\left| { \cdot {3^{{x^2} - 16}} > 0} \right.\]

    \[{12^{{x^2} - 16}} \ge 1\]

    \[{12^{{x^2} - 16}} \ge {12^0}\]

Основание 12>1, знак неравенства между показателями не изменяется:

    \[{x^2} - 16 \ge 0\]

Это квадратичное неравенство решим методом интервалов. Корни функции, стоящей в левой части — x1=-4; x2=4- отмечаем на числовой прямой:

primery-resheniya-neravenstv-so-stepenyami

 

Ответ:

    \[x \in ( - \infty ; - 4] \cup [4;\infty ).\]

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>