Показательная функция

Показательная функция и логарифмическая функция тесно связаны между собой: они являются взаимно-обратными.

Определение

Показательная функция — это функция вида

    \[y = {a^x},\]

гле a>0, a≠1.

График показательной функции:

pokazatlnaya-funkciya

grafik-pokazatlnoj-funkcii

График показательной функции — экспоненциальная кривая.

Свойства показательной функции

1) Область определения показательной функции — множество всех чисел:

    \[D({a^x}):x \in ( - \infty ;\infty ).\]

2) Область значений показательной функции — множество положительных чисел:

    \[E({a^x}):y \in (0;\infty ).\]

3) При a>1 показательная функция возрастает на всей области определения, при 0<a<1 — убывает.

4) График любой показательной функции проходит через точку (0;1), так как для любого a>0 a⁰=1.

5) Каждое своё значение функция принимает только один раз, то есть прямую, параллельную оси Ox, график показательной функции может пересечь только в одной точке.

6) Показательная функция не является ни чётной, ни нечётной, ни периодической.

График показательной функции асимптотически приближается к оси Ox (прямая y=0 является для функции горизонтальной асимптотой):

если a>1 при x→ + ∞ y→ 0,

если 0<a<1 при x→ — ∞ y→ 0.

Таким образом, показательная функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения, но

    \[{a^x} > 0\]

( a>0, a≠1).

Показательная функция имеет большое прикладное значение.

Многие физические, химические, биологические, экономические, социологические процессы описываются с помощью показательных функций. Например, закон естественного роста (рост числа бактерий, увеличение денежного вклада при постоянном процентном приращении и т.д.), процессы образования и распада вещества, затухающие колебания.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *