Логарифмические уравнения. Примеры введения параметра

Продолжаем рассматривать логарифмические уравнения, Примеры введения параметра — тема, которую мы обсудим в этот раз.

При решении нестандартных уравнений с логарифмами введение параметра может помочь привести уравнение к знакомому виду.

$1)x\log _2^2(x - 2) + 4(x - 1){\log _2}(x - 2) - 16 =$

$= 0$

ОДЗ: x>2.

Обозначим

${\log _2}(x - 2) = t,$

тогда исходное уравнение примет вид

$x \cdot {t^2} + 4(x - 1) \cdot t - 16 = 0$

Это уравнение — квадратное относительно переменной t. Здесь коэффициенты

$a = x;b = 4(x - 1);c = - 16$

Так как b — чётное число, ищем дискриминант, деленный на 4

$D = {b^2} - 4ac$

$D = {(\frac{{4(x - 1)}}{2})^2} - x \cdot ( - 16) =$

$= 4({x^2} - 2x + 1) + 16x = 4{x^2} + 8x + 4 =$

$= 4({x^2} + 2x + 1) = 4{(x + 1)^2}$

${t_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a}$

${t_{1,2}} = \frac{{ - \frac{{4(x - 1)}}{2} \pm \sqrt {4{{(x + 1)}^2}} }}{x} =$

$= \frac{{ - 2(x - 1) \pm 2(x + 1)}}{x}$

(так как x>2,

$\sqrt {4{{(x + 1)}^2}} = \left| {2(x + 1)} \right| = 2(x + 1),$

но и в общем случае знак модуля можно было бы снять).

${t_1} = \frac{{ - 2(x - 1) + 2(x + 1)}}{x} = \frac{4}{x}$

${t_2} = \frac{{ - 2(x - 1) - 2(x + 1)}}{x} = \frac{{ - 4x}}{x} = - 4$

Возвращаемся к исходной переменной:

${\log _2}(x - 2) = \frac{4}{x};{\log _2}(x - 2) = - 4$

$1){\log _2}(x - 2) = \frac{4}{x}$

решение этого уравнения основано на использовании монотонности функций. На ОДЗ функция

$f(x) = {\log _2}(x - 2)$

возрастает, функция

$g(x) = \frac{4}{x}$

— убывает. Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня. Подбором находим, что x=4.

$2){\log _2}(x - 2) = - 4$

По определению логарифма

$x - 2 = {2^{ - 4}}$

$x = \frac{1}{{{2^4}}} + 2$

$x = 2,0625$

Ответ: 4; 2,0625.

$2)\lg ({x^6} + 9{x^2}) = 2 \cdot {\log _2}x$

ОДЗ: x>0.

Пусть

${\log _2}x = t,$

тогда

$x = {2^t},$

и исходное уравнение примет вид

$\lg ({2^{6t}} + 9 \cdot {2^{2t}}) = 2t$

По определению логарифма

${2^{6t}} + 9 \cdot {2^{2t}} = {10^{2t}}$

Преобразуем уравнение и разделим почленно обе части на 10 в степени t (при делении на положительное число потери корней не произойдёт):

${8^{2t}} + 9 \cdot {2^{2t}} = {10^{2t}}\_\_\_\left| {:{{10}^{2t}}} \right.$

${(\frac{8}{{10}})^{2t}} + 9 \cdot {\left( {\frac{2}{{10}}} \right)^{2t}} = 1$

${(\frac{4}{5})^{2t}} + 9 \cdot {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{2t}} = 1$

Функция

$f(x) = {(\frac{4}{5})^{2t}} + 9 \cdot {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{2t}}$

— убывающая (как сумма убывающих функций), следовательно, данное уравнение может иметь не более одного решения. Подбором находим, что t=1.

Обратная замена

${\log _2}x = 1$

$x = 2$

Ответ: 2.

Добавить комментарий Отменить ответ