Логарифмические уравнения. Примеры введения параметра

Продолжаем рассматривать логарифмические уравнения, Примеры введения параметра — тема, которую мы обсудим в этот раз.

При решении нестандартных уравнений с логарифмами введение параметра может помочь привести уравнение к знакомому виду.

    \[1)x\log _2^2(x - 2) + 4(x - 1){\log _2}(x - 2) - 16 = \]

    \[ = 0\]

ОДЗ: x>2.

Обозначим

    \[{\log _2}(x - 2) = t,\]

тогда исходное уравнение примет вид

    \[x \cdot {t^2} + 4(x - 1) \cdot t - 16 = 0\]

Это уравнение — квадратное относительно переменной t. Здесь коэффициенты

    \[a = x;b = 4(x - 1);c = - 16\]

Так как b — чётное число, ищем дискриминант, деленный на 4

    \[D = {b^2} - 4ac\]

    \[D = {(\frac{{4(x - 1)}}{2})^2} - x \cdot ( - 16) = \]

    \[ = 4({x^2} - 2x + 1) + 16x = 4{x^2} + 8x + 4 = \]

    \[ = 4({x^2} + 2x + 1) = 4{(x + 1)^2}\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a}\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{ - \frac{{4(x - 1)}}{2} \pm \sqrt {4{{(x + 1)}^2}} }}{x} = \]

    \[ = \frac{{ - 2(x - 1) \pm 2(x + 1)}}{x}\]

(так как x>2,

    \[\sqrt {4{{(x + 1)}^2}} = \left| {2(x + 1)} \right| = 2(x + 1),\]

но и в общем случае знак модуля можно было бы снять).

    \[{t_1} = \frac{{ - 2(x - 1) + 2(x + 1)}}{x} = \frac{4}{x}\]

    \[{t_2} = \frac{{ - 2(x - 1) - 2(x + 1)}}{x} = \frac{{ - 4x}}{x} = - 4\]

Возвращаемся к исходной переменной:

    \[{\log _2}(x - 2) = \frac{4}{x};{\log _2}(x - 2) = - 4\]

    \[1){\log _2}(x - 2) = \frac{4}{x}\]

решение этого уравнения основано на использовании монотонности функций. На ОДЗ функция

    \[f(x) = {\log _2}(x - 2)\]

возрастает, функция

    \[g(x) = \frac{4}{x}\]

- убывает. Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня. Подбором находим, что x=4.

    \[2){\log _2}(x - 2) = - 4\]

По определению логарифма

    \[x - 2 = {2^{ - 4}}\]

    \[x = \frac{1}{{{2^4}}} + 2\]

    \[x = 2,0625\]

Ответ: 4; 2,0625.

    \[2)\lg ({x^6} + 9{x^2}) = 2 \cdot {\log _2}x\]

ОДЗ: x>0.

Пусть

    \[{\log _2}x = t,\]

тогда

    \[x = {2^t},\]

и исходное уравнение примет вид

    \[\lg ({2^{6t}} + 9 \cdot {2^{2t}}) = 2t\]

По определению логарифма

    \[{2^{6t}} + 9 \cdot {2^{2t}} = {10^{2t}}\]

Преобразуем уравнение и разделим почленно обе части на 10 в степени t (при делении на положительное число потери корней не произойдёт):

    \[{8^{2t}} + 9 \cdot {2^{2t}} = {10^{2t}}\_\_\_\left| {:{{10}^{2t}}} \right.\]

    \[{(\frac{8}{{10}})^{2t}} + 9 \cdot {\left( {\frac{2}{{10}}} \right)^{2t}} = 1\]

    \[{(\frac{4}{5})^{2t}} + 9 \cdot {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{2t}} = 1\]

Функция

    \[f(x) = {(\frac{4}{5})^{2t}} + 9 \cdot {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{2t}}\]

- убывающая (как сумма убывающих функций), следовательно, данное уравнение может иметь не более одного решения. Подбором находим, что t=1.

Обратная замена

    \[{\log _2}x = 1\]

    \[x = 2\]

Ответ: 2.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>