Примеры показательных уравнений

Рассмотрим примеры показательных уравнений, при решении которых применяется способ оценки правой и левой частей уравнения.

Если для правой и левой частей уравнения

    \[f(x) = g(x)\]

выполняются условия

    \[f(x) \ge a\]

    \[g(x) \le a,\]

то это уравнение равносильно системе

    \[\left\{ \begin{array}{l} f(x) = a\\ g(x) = a \end{array} \right.\]

Примеры показательных уравнений, решаемых способом оценки.

    \[1){5^{\cos x}} = 3{x^2} + 5\]

ОДЗ: x∈R.

    \[\cos x \le 1\]

Так как 5>1, показательная функция

    \[y = {5^x}\]

возрастает, поэтому меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно,

    \[f(x) = {5^{\cos x}} \le 5.\]

С другой стороны,

    \[g(x) = 3{x^2} + 5\]

- квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Наименьшее значение g(x) принимает в вершине параболы

    \[{x_o} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{0}{{2 \cdot 1}} = 0,\]

и оно равно

    \[g(0) = 3 \cdot {0^2} + 5 = 5.\]

Так как

    \[{5^{\cos x}} \le 5\]

    \[3{x^2} + 5 \ge 5,\]

исходное уравнение равносильно системе

    \[\left\{ \begin{array}{l} {5^{\cos x}} = 5\\3{x^2} + 5 = 5. \end{array} \right.\]

Решаем второе уравнение системы:

    \[3{x^2} + 5 = 5\]

    \[x = 0\]

Проверяем, является ли x=0 корнем первого уравнения:

    \[{5^{\cos 0}} = 5\]

    \[5 = 5\]

- верно. Значит, корень исходного уравнения — x=0.

Ответ: 0.

    \[2){3^{ - \left| {2x + 1} \right|}} = {x^2} + x + 1,25\]

ОДЗ: x∈R.

    \[\left| {2x + 1} \right| \ge 0, \Rightarrow - \left| {2x + 1} \right| \le 0.\]

Так как 3>1, показательная функция

    \[y = {3^x}\]

возрастает, поэтому

    \[{3^{ - \left| {2x + 1} \right|}} \le {3^0},\]

то есть

    \[f(x) = {3^{ - \left| {2x + 1} \right|}} \le 1.\]

С другой стороны,

    \[g(x) = {x^2} + x + 1,25\]

- квадратичная функция, график которой — парабола ветвями вверх. Наименьшее значение g(x) принимает в вершине параболы

    \[{x_o} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{1}{{2 \cdot 1}} = - 0,5\]

и оно равно

    \[g( - 0,5) = {( - 0,5)^2} + ( - 0,5) + 1,25 = 1,\]

то есть

    \[g(x) = {x^2} + x + 1,25 \le 1.\]

Поскольку

    \[{3^{ - \left| {2x + 1} \right|}} \le 1,\]

    \[{x^2} + x + 1,25 \ge 1,\]

исходное уравнение равносильно системе

    \[\left\{ \begin{array}{l} {3^{ - \left| {2x + 1} \right|}} = 1\\ {x^2} + x + 1,25 = 1 \end{array} \right.\]

Решаем второе уравнение:

    \[{x^2} + x + 1,25 = 1\]

    \[{x^2} + x + 0,25 = 0\]

    \[{(x + 0,5)^2} = 0\]

    \[x = - 0,5\]

Проверяем, удовлетворяет ли x= -0,5 первому уравнению:

    \[{3^{ - \left| {2 \cdot ( - 0,5) + 1} \right|}} = 1\]

    \[1 = 1\]

Равенство верно, x= — 0,5 — корень исходного уравнения.

Ответ: — 0,5.

    \[3){10^x} + {(0,1)^x} + 7 = 9\cos \frac{{4\pi x}}{3}\]

ОДЗ: x∈R.Так как

    \[{10^x} > 0,\]

то

    \[{10^x} + {(0,1)^x}\]

- сумма двух взаимно-обратных положительных чисел. Следовательно,

    \[{10^x} + {(0,1)^x} \ge 2,\]

    \[{10^x} + {(0,1)^x} + 7 \ge 9.\]

С другой стороны,

    \[\cos \frac{{4\pi x}}{3} \le 1, \Rightarrow 9\cos \frac{{4\pi x}}{3} \le 9.\]

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе

    \[\left\{ \begin{array}{l} {10^x} + {(0,1)^x} + 7 = 9\\ 9\cos \frac{{4\pi x}}{3} = 9 \end{array} \right.\]

Решим первое уравнение:

    \[{10^x} + {(0,1)^x} + 7 = 9\]

Пусть

    \[{10^x} = t,t > 0,\]

тогда

    \[t + \frac{1}{t} - 2 = 0\_\_\left| { \cdot t \ne 0} \right.\]

    \[{t^2} + 1 - 2t = 0\]

    \[{(t - 1)^2} = 0\]

    \[t = 1\]

Обратная замена

    \[{10^x} = 1\]

- простейшее показательное уравнение. Его корень x=0.

Подставляем x=0 во второе уравнение:

    \[9\cos \frac{{4\pi \cdot 0}}{3} = 9\]

    \[9 = 9\]

- верно. Значит, x=0 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 0.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>