Примеры показательных уравнений

Рассмотрим примеры показательных уравнений, при решении которых применяется способ оценки правой и левой частей уравнения.

Если для правой и левой частей уравнения

$f(x) = g(x)$

выполняются условия

$f(x) \ge a$

$g(x) \le a,$

то это уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} f(x) = a\\ g(x) = a \end{array} \right.$

Примеры показательных уравнений, решаемых способом оценки.

$1){5^{\cos x}} = 3{x^2} + 5$

ОДЗ: x∈R.

$\cos x \le 1$

Так как 5>1, показательная функция

$y = {5^x}$

возрастает, поэтому меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно,

$f(x) = {5^{\cos x}} \le 5.$

С другой стороны,

$g(x) = 3{x^2} + 5$

— квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Наименьшее значение g(x) принимает в вершине параболы

${x_o} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{0}{{2 \cdot 1}} = 0,$

и оно равно

$g(0) = 3 \cdot {0^2} + 5 = 5.$

Так как

${5^{\cos x}} \le 5$

$3{x^2} + 5 \ge 5,$

исходное уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} {5^{\cos x}} = 5\\3{x^2} + 5 = 5. \end{array} \right.$

Решаем второе уравнение системы:

$3{x^2} + 5 = 5$

$x = 0$

Проверяем, является ли x=0 корнем первого уравнения:

${5^{\cos 0}} = 5$

$5 = 5$

— верно. Значит, корень исходного уравнения — x=0.

Ответ: 0.

$2){3^{ - \left| {2x + 1} \right|}} = {x^2} + x + 1,25$

ОДЗ: x∈R.

$\left| {2x + 1} \right| \ge 0, \Rightarrow - \left| {2x + 1} \right| \le 0.$

Так как 3>1, показательная функция

$y = {3^x}$

возрастает, поэтому

${3^{ - \left| {2x + 1} \right|}} \le {3^0},$

то есть

$f(x) = {3^{ - \left| {2x + 1} \right|}} \le 1.$

С другой стороны,

$g(x) = {x^2} + x + 1,25$

— квадратичная функция, график которой — парабола ветвями вверх. Наименьшее значение g(x) принимает в вершине параболы

${x_o} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{1}{{2 \cdot 1}} = - 0,5$

и оно равно

$g( - 0,5) = {( - 0,5)^2} + ( - 0,5) + 1,25 = 1,$

то есть

$g(x) = {x^2} + x + 1,25 \le 1.$

Поскольку

${3^{ - \left| {2x + 1} \right|}} \le 1,$

${x^2} + x + 1,25 \ge 1,$

исходное уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} {3^{ - \left| {2x + 1} \right|}} = 1\\ {x^2} + x + 1,25 = 1 \end{array} \right.$

Решаем второе уравнение:

${x^2} + x + 1,25 = 1$

${x^2} + x + 0,25 = 0$

${(x + 0,5)^2} = 0$

$x = - 0,5$

Проверяем, удовлетворяет ли x= -0,5 первому уравнению:

${3^{ - \left| {2 \cdot ( - 0,5) + 1} \right|}} = 1$

$1 = 1$

Равенство верно, x= — 0,5 — корень исходного уравнения.

Ответ: — 0,5.

$3){10^x} + {(0,1)^x} + 7 = 9\cos \frac{{4\pi x}}{3}$

ОДЗ: x∈R.Так как

${10^x} > 0,$

то

${10^x} + {(0,1)^x}$

— сумма двух взаимно-обратных положительных чисел. Следовательно,

${10^x} + {(0,1)^x} \ge 2,$

${10^x} + {(0,1)^x} + 7 \ge 9.$

С другой стороны,

$\cos \frac{{4\pi x}}{3} \le 1, \Rightarrow 9\cos \frac{{4\pi x}}{3} \le 9.$

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} {10^x} + {(0,1)^x} + 7 = 9\\ 9\cos \frac{{4\pi x}}{3} = 9 \end{array} \right.$

Решим первое уравнение:

${10^x} + {(0,1)^x} + 7 = 9$

Пусть

${10^x} = t,t > 0,$

тогда

$t + \frac{1}{t} - 2 = 0\_\_\left| { \cdot t \ne 0} \right.$

${t^2} + 1 - 2t = 0$

${(t - 1)^2} = 0$

$t = 1$

Обратная замена

${10^x} = 1$

— простейшее показательное уравнение. Его корень x=0.

Подставляем x=0 во второе уравнение:

$9\cos \frac{{4\pi \cdot 0}}{3} = 9$

$9 = 9$

— верно. Значит, x=0 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 0.

Добавить комментарий Отменить ответ