Простейшие показательные уравнения

Показательные уравнения — это уравнения, в которых переменная входит в показатель степени, а основание степени переменной не содержит.

Простейшие показательные уравнения — это уравнения вида

    \[{a^x} = b,\]

где a>0, a≠1.

Так как показательная функция

    \[y = {a^x}\]

строго монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0<a<1), то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента, следовательно, простейшее показательное уравнение имеет единственный корень (или не имеет корней).

При b>0 нужно представить обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием, например,

    \[{a^x} = {a^c}.\]

Из равенства степеней с одинаковыми основаниями следует равенство показателей степеней:

    \[x = c\]

Если привести степени к одинаковому основанию нельзя, для нахождения x применяем определение логарифма:

    \[{a^x} = b\]

    \[x = {\log _a}b\]

(или используя основное логарифмическое тождество:

    \[{a^x} = b\]

    \[{a^x} = {a^{{{\log }_a}b}}\]

    \[x = {\log _a}b,\]

или логарифмируя обе части по основанию a

    \[{a^x} = b\]

    \[{\log _a}{a^x} = {\log _a}b\]

    \[x{\log _a}a = {\log _a}b\]

    \[x = {\log _a}b).\]

При b<0 и при b=0 это уравнение на множестве действительных чисел не имеет решений, так как 

    \[{a^x} > 0\]

для всех x∈R.

Примеры решения простейших показательных уравнений

    \[1){5^x} = 125\]

Обе части уравнения приводим к степени с основанием 5:

    \[{5^x} = {5^3}\]

и приравниваем показатели:

    \[x = 3.\]

Ответ: 3.

    \[2){32^x} = 128\]

Обе части уравнения приводим к степени с основанием 2

    \[{2^{5x}} = {2^7}\]

и приравниваем показатели

    \[5x = 7\]

    \[x = \frac{7}{5}\]

    \[x = 1,4.\]

Ответ: 1,4.

    \[3){(\sqrt 3 - 1)^x} = 1\]

Единицу можно представить в виде степени с любым основанием и показателем 0:

    \[{(\sqrt 3 - 1)^x} = {(\sqrt 3 - 1)^0}\]

    \[x = 0.\]

Ответ: 0.

    \[4){5^x} = 9\]

Представить обе части в виде степени с одинаковым основанием невозможно. Воспользуемся определением логарифма

    \[x = {\log _5}9.\]

Ответ:

    \[{\log _5}9.\]

Показательные уравнения других видов сводятся к простейшим показательным уравнениям с помощью различных преобразований либо введением вспомогательной переменной.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *