Логарифмирование

Логарифмирование — действие, заключающееся в нахождении логарифма числа или выражения.

Логарифмирование является одним из двух действий, обратных возведению в степень. Если

    \[{a^c} = b,\]

то

    \[a = \sqrt[c]{b},\]

    \[c = {\log _a}b\]

Методом логарифмирования могут быть решены некоторые логарифмические уравнения.

Решение уравнения логарифмированием схематически можно описать приблизительно так.

    \[{(f(x))^{{{\log }_a}g(x)}} = b\]

ОДЗ:

    \[\left\{ \begin{array}{l} f(x) > 0;\\ g(x) > 0. \end{array} \right.\]

Логарифмируем обе части уравнения по основанию a:

    \[{\log _a}{(f(x))^{{{\log }_a}g(x)}} = {\log _a}b\]

(просто приписываем к обеим частям уравнения логарифм по основанию a. a — основание логарифма, стоящего в показателе степени).

Показатель степени выносим за знак логарифма:

    \[{\log _a}g(x) \cdot {\log _a}(f(x)) = {\log _a}b\]

Примеры решения уравнений методом логарифмирования.

    \[1){x^{{{\log }_3}x - 4}} = \frac{1}{{27}}\]

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

    \[{\log _3}{x^{{{\log }_3}x - 4}} = {\log _3}\frac{1}{{27}}\]

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части находим значение логарифма:

    \[({\log _3}x - 4) \cdot {\log _3}x = - 3\]

(Обратите внимание: показатель степени — разность. Сумму и разность при вынесении за знак логарифма обязательно нужно взять в скобки).

Полученное уравнение решаем с помощью замены переменной.

Пусть

    \[{\log _3}x = t,\]

тогда

    \[(t - 4) \cdot t = - 3\]

    \[{t^2} - 4t + 3 = 0\]

    \[{t_1} = 1;{t_2} = 3\]

Обратная замена:

    \[{\log _3}x = 1;{\log _3}x = 3\]

Эти простейшие логарифмические уравнения решаем по определению логарифма:

    \[{x_1} = {3^1};{x_2} = {3^3}\]

    \[{x_1} = 3;{x_2} = 27\]

Ответ: 1; 27.

    \[2){x^{{{\log }_2}x}} = 64x\]

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

    \[{\log _2}{x^{{{\log }_2}x}} = {\log _2}(64x)\]

(Обратите внимание: произведение в правой части уравнения записываем в скобках).

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части от логарифма произведения переходим к сумме логарифмов:

    \[{\log _2}x \cdot {\log _2}x = {\log _2}64 + {\log _2}x\]

    \[\log _2^2x = 6 + {\log _2}x\]

Пусть

    \[{\log _2}x = t,\]

тогда

    \[{t^2} - t - 6 = 0\]

    \[{t_1} = - 2;{t_2} = 3\]

Возвращаемся к исходной переменной:

    \[{\log _2}x = - 2;{\log _2}x = 3\]

    \[{x_1} = {2^{ - 2}};{x_2} = {2^3}\]

    \[{x_1} = \frac{1}{4};{x_2} = 8\]

Ответ: 1/4; 8.

    \[3){x^{3\lg x - \frac{1}{{\lg x}}}} = \sqrt[3]{{10}}\]

ОДЗ:

    \[\left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ \lg x \ne 0; \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ x \ne 1. \end{array} \right.\]

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

    \[\lg {x^{3\lg x - \frac{1}{{\lg x}}}} = \lg \sqrt[3]{{10}}\]

В левой части показатель степени выносим за знак логарифма. Логарифм в правой части вычисляем:

    \[(3\lg x - \frac{1}{{\lg x}}) \cdot \lg x = \frac{1}{3}\]

Замена

    \[\lg x = t,(t \ne 0),\]

    \[(3t - \frac{1}{t}) \cdot t = \frac{1}{3}\]

    \[3{t^2} - 1 = \frac{1}{3}\]

    \[3{t^2} = \frac{4}{3}\]

    \[{t^2} = \frac{4}{9}\]

    \[t = \pm \frac{2}{3}\]

Обратная замена

    \[\lg x = \frac{2}{3};\lg x = - \frac{2}{3}\]

    \[{x_1} = {10^{\frac{2}{3}}};{x_2} = {10^{ - \frac{2}{3}}}\]

    \[{x_1} = \sqrt[3]{{100}};{x_2} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{100}}}}\]

Ответ:

    \[\sqrt[3]{{100}};\frac{1}{{\sqrt[3]{{100}}}}.\]

    \[4){x^{{{\lg }^3}x - 5\lg x}} = 0,0001\]

ОЗД: x>0.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

    \[\lg {x^{{{\lg }^3}x - 5\lg x}} = \lg 0,0001\]

Показатель степени вынесем за знак логарифма

    \[({\lg ^3}x - 5\lg x) \cdot \lg x = - 4\]

Здесь сначала удобно раскрыть скобки

    \[{\lg ^4}x - 5{\lg ^2}x = - 4\]

Замена

    \[{\lg ^2}x = t,(t > 0),\]

    \[{t^2} - 5t + 4 = 0\]

    \[{t_1} = 1;{t_2} = 4\]

    \[{\lg ^2}x = 1;{\lg ^2}x = 4\]

    \[\lg x = 1;\lg x = - 1;\lg x = 2;\lg x = - 2\]

    \[{x_1} = 10;{x_2} = 0,1;{x_3} = 100;{x_4} = 0,01.\]

Ответ: 10; 0,1; 100; 0,01.

В следующий раз рассмотрим еще два вида логарифмических уравнений, сводящихся к таким уравнениям.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *