Логарифмирование

Логарифмирование — действие, заключающееся в нахождении логарифма числа или выражения.

Логарифмирование является одним из двух действий, обратных возведению в степень. Если

${a^c} = b,$

то

$a = \sqrt[c]{b},$

$c = {\log _a}b$

Методом логарифмирования могут быть решены некоторые логарифмические уравнения.

Решение уравнения логарифмированием схематически можно описать приблизительно так.

${(f(x))^{{{\log }_a}g(x)}} = b$

ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} f(x) > 0;\\ g(x) > 0. \end{array} \right.$

Логарифмируем обе части уравнения по основанию a:

${\log _a}{(f(x))^{{{\log }_a}g(x)}} = {\log _a}b$

(просто приписываем к обеим частям уравнения логарифм по основанию a. a — основание логарифма, стоящего в показателе степени).

Показатель степени выносим за знак логарифма:

${\log _a}g(x) \cdot {\log _a}(f(x)) = {\log _a}b$

Примеры решения уравнений методом логарифмирования.

$1){x^{{{\log }_3}x - 4}} = \frac{1}{{27}}$

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

${\log _3}{x^{{{\log }_3}x - 4}} = {\log _3}\frac{1}{{27}}$

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части находим значение логарифма:

$({\log _3}x - 4) \cdot {\log _3}x = - 3$

(Обратите внимание: показатель степени — разность. Сумму и разность при вынесении за знак логарифма обязательно нужно взять в скобки).

Полученное уравнение решаем с помощью замены переменной.

Пусть

${\log _3}x = t,$

тогда

$(t - 4) \cdot t = - 3$

${t^2} - 4t + 3 = 0$

${t_1} = 1;{t_2} = 3$

Обратная замена:

${\log _3}x = 1;{\log _3}x = 3$

Эти простейшие логарифмические уравнения решаем по определению логарифма:

${x_1} = {3^1};{x_2} = {3^3}$

${x_1} = 3;{x_2} = 27$

Ответ: 1; 27.

$2){x^{{{\log }_2}x}} = 64x$

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

${\log _2}{x^{{{\log }_2}x}} = {\log _2}(64x)$

(Обратите внимание: произведение в правой части уравнения записываем в скобках).

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части от логарифма произведения переходим к сумме логарифмов:

${\log _2}x \cdot {\log _2}x = {\log _2}64 + {\log _2}x$

$\log _2^2x = 6 + {\log _2}x$

Пусть

${\log _2}x = t,$

тогда

${t^2} - t - 6 = 0$

${t_1} = - 2;{t_2} = 3$

Возвращаемся к исходной переменной:

${\log _2}x = - 2;{\log _2}x = 3$

${x_1} = {2^{ - 2}};{x_2} = {2^3}$

${x_1} = \frac{1}{4};{x_2} = 8$

Ответ: 1/4; 8.

$3){x^{3\lg x - \frac{1}{{\lg x}}}} = \sqrt[3]{{10}}$

ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ \lg x \ne 0; \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ x \ne 1. \end{array} \right.$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

$\lg {x^{3\lg x - \frac{1}{{\lg x}}}} = \lg \sqrt[3]{{10}}$

В левой части показатель степени выносим за знак логарифма. Логарифм в правой части вычисляем:

$(3\lg x - \frac{1}{{\lg x}}) \cdot \lg x = \frac{1}{3}$

Замена

$\lg x = t,(t \ne 0),$

$(3t - \frac{1}{t}) \cdot t = \frac{1}{3}$

$3{t^2} - 1 = \frac{1}{3}$

$3{t^2} = \frac{4}{3}$

${t^2} = \frac{4}{9}$

$t = \pm \frac{2}{3}$

Обратная замена

$\lg x = \frac{2}{3};\lg x = - \frac{2}{3}$

${x_1} = {10^{\frac{2}{3}}};{x_2} = {10^{ - \frac{2}{3}}}$

${x_1} = \sqrt[3]{{100}};{x_2} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{100}}}}$

Ответ:

$\sqrt[3]{{100}};\frac{1}{{\sqrt[3]{{100}}}}.$

$4){x^{{{\lg }^3}x - 5\lg x}} = 0,0001$

ОЗД: x>0.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

$\lg {x^{{{\lg }^3}x - 5\lg x}} = \lg 0,0001$

Показатель степени вынесем за знак логарифма

$({\lg ^3}x - 5\lg x) \cdot \lg x = - 4$

Здесь сначала удобно раскрыть скобки

${\lg ^4}x - 5{\lg ^2}x = - 4$

Замена

${\lg ^2}x = t,(t > 0),$

${t^2} - 5t + 4 = 0$

${t_1} = 1;{t_2} = 4$

${\lg ^2}x = 1;{\lg ^2}x = 4$

$\lg x = 1;\lg x = - 1;\lg x = 2;\lg x = - 2$

${x_1} = 10;{x_2} = 0,1;{x_3} = 100;{x_4} = 0,01.$

Ответ: 10; 0,1; 100; 0,01.

В следующий раз рассмотрим еще два вида логарифмических уравнений, сводящихся к таким уравнениям.

Добавить комментарий Отменить ответ