Логарифм произведения

Логарифм произведения — результат сложения логарифмов с одинаковыми основаниями. Если выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны, формула

    \[{\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}(xy)\]

является тождеством, то есть

при x>0, y>0 логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:

    \[{\log _a}(xy) = {\log _a}x + {\log _a}y\]

Например,

    \[1){\log _3}(81\sqrt[7]{{27}}) = {\log _3}81 + {\log _3}\sqrt[7]{{27}} = \]

    \[ = {\log _3}{3^4} + {\log _3}{3^{\frac{3}{7}}} = 4 + \frac{3}{7} = 4\frac{3}{7};\]

    \[2)\lg (1000\sqrt[5]{{0,01}}) = \lg 1000 + \lg \sqrt[5]{{0,01}} = \]

    \[ = \lg {10^3} + \lg {10^{ - \frac{2}{5}}} = 3 + ( - \frac{2}{5}) = \]

    \[ = 3 - 0,4 = 2,6.\]

Как и другие свойства логарифмов, переход от логарифма произведения к  к сумме логарифмов может быть использован для преобразований в ходе решения логарифмических уравнений, неравенств и их систем. Если на области допустимых значений переменные, входящие в произведение под знаком логарифма, положительны, проблем не возникает.

Например, для системы 

    \[\left\{ \begin{array}{l} {\log _8}(xy) = 2\\ {\log _2}x - {\log _2}y = 8 \end{array} \right.\]

область допустимых значений x>0, y>0. Поэтому

    \[{\log _8}(xy) = {\log _8}x + {\log _8}y\]

и систему можно преобразовать как

    \[\left\{ \begin{array}{l} {\log _8}x + {\log _8}y = 2\\ {\log _2}x - {\log _2}y = 8 \end{array} \right.\]

Если же область допустимых значений включает в себя не только положительные значения переменных, формула перехода от логарифма произведения к сумме логарифмов выглядит так:

    \[{\log _a}(xy) = {\log _a}\left| x \right| + {\log _a}\left| y \right|\]

Таким образом, в общем случае

логарифм произведения равен сумме логарифмов модулей множителей.

Примеры.

    \[1){\log _3}(9{x^2})\]

Здесь область допустимых значений

    \[9{x^2} > 0, \Rightarrow x \ne 0,\]

поэтому при переходе от логарифма произведения к сумме логарифмов множителей переменную x берем по модулю:

    \[{\log _3}(9{x^2}) = {\log _3}9 + {\log _3}{x^2} = \]

    \[ = 2 + 2{\log _3}\left| x \right|;\]

    \[2){\log _7}(3x - 15)(x + 10)\]

Область допустимых значений

    \[(3x - 15)(x + 10) > 0,\]

    \[ \Rightarrow x \in ( - \infty ; - 10) \cup (5;\infty )\]

следовательно,

    \[{\log _7}(3x - 15)(x + 10) = \]

    \[ = {\log _7}\left| {3x - 15} \right| + {\log _7}\left| {x + 10} \right|.\]

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *