Логарифм произведения

Логарифм произведения — результат сложения логарифмов с одинаковыми основаниями. Если выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны, формула

${\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}(xy)$

является тождеством, то есть

при x>0, y>0 логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:

${\log _a}(xy) = {\log _a}x + {\log _a}y$

Например,

$1){\log _3}(81\sqrt[7]{{27}}) = {\log _3}81 + {\log _3}\sqrt[7]{{27}} =$

$= {\log _3}{3^4} + {\log _3}{3^{\frac{3}{7}}} = 4 + \frac{3}{7} = 4\frac{3}{7};$

$2)\lg (1000\sqrt[5]{{0,01}}) = \lg 1000 + \lg \sqrt[5]{{0,01}} =$

$= \lg {10^3} + \lg {10^{ - \frac{2}{5}}} = 3 + ( - \frac{2}{5}) =$

$= 3 - 0,4 = 2,6.$

Как и другие свойства логарифмов, переход от логарифма произведения к к сумме логарифмов может быть использован для преобразований в ходе решения логарифмических уравнений, неравенств и их систем. Если на области допустимых значений переменные, входящие в произведение под знаком логарифма, положительны, проблем не возникает.

Например, для системы

$\left\{ \begin{array}{l} {\log _8}(xy) = 2\\ {\log _2}x - {\log _2}y = 8 \end{array} \right.$

область допустимых значений x>0, y>0. Поэтому

${\log _8}(xy) = {\log _8}x + {\log _8}y$

и систему можно преобразовать как

$\left\{ \begin{array}{l} {\log _8}x + {\log _8}y = 2\\ {\log _2}x - {\log _2}y = 8 \end{array} \right.$

Если же область допустимых значений включает в себя не только положительные значения переменных, формула перехода от логарифма произведения к сумме логарифмов выглядит так:

${\log _a}(xy) = {\log _a}\left| x \right| + {\log _a}\left| y \right|$