Квадрат логарифма в показателе степени

Как преобразовать выражение, в котором квадрат логарифма стоит в показателе степени?

    \[{a^{\log _a^2b}} = ?\]

Согласно основному логарифмическому тождеству,

    \[{a^{{{\log }_a}b}} = b\]

(где a>0, a≠1, b>0).

Таким образом, чтобы преобразовать выражение, нужно, чтобы в показателе степени остался один логарифм ( без квадрата). Как убрать квадрат логарифма?

Что такое квадрат логарифма?

    \[\log _a^2b = {({\log _a}b)^2} = {\log _a}b \cdot {\log _a}b\]

Таким образом, в показателе степени стоит произведение логарифмов.

По свойству степеней,

    \[{a^{m \cdot n}} = {({a^m})^n}\]

Таким образом,

    \[{a^{\log _a^2b}} = {a^{{{\log }_a}b \cdot {{\log }_a}b}} = {({a^{{{\log }_a}b}})^{{{\log }_a}b}} = {b^{{{\log }_a}b}}\]

Например,

    \[{5^{\log _5^2x}} = {5^{{{\log }_5}x \cdot {{\log }_5}x}} = {({5^{{{\log }_5}x}})^{{{\log }_5}x}} = {x^{{{\log }_5}x}};\]

    \[{10^{{{\lg }^2}x}} = {10^{\lg x \cdot \lg x}} = {({10^{\lg x}})^{\lg x}} = {x^{\lg x}};\]

    \[{e^{{{\ln }^2}x}} = {e^{\ln x \cdot \ln x}} = {({e^{\ln x}})^{\ln x}} = {x^{\ln x}}.\]

Этот приём может быть использован в ходе преобразования выражений и при решении некоторых логарифмических уравнений.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *