Логарифм степени и корня

Как преобразовать логарифм степени и логарифм корня?

Если под знаком логарифма стоит положительное выражение, показатель степени можно вынести за знак логарифма.

    \[{\log _a}{x^p} = p{\log _a}x,\]

(x>0).

Например,

    \[{\log _2}{7^{10}} = 10 \cdot {\log _2}7;\]

    \[{\log _5}{9^x} = x \cdot {\log _5}9;\]

Если в показателе степени стоит сумма или разность, за знак логарифма выражение следует выносить, взяв его в скобки:

    \[\lg {7^{3x - 2}} = (3x - 2) \cdot \lg 7.\]

Если показатель степени под знаком логарифма — нечетное число, то основание степени должно быть положительным (так как при возведении в степень с нечётным показателем отрицательного числа результат — отрицательное число).

Таким образом,

    \[{\log _a}{x^{2n + 1}} = (2n + 1) \cdot {\log _a}x\]

Если выражение, стоящее под знаком логарифма, может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то при вынесении за знак логарифма чётного показателя оставшееся основание степени нужно записать под знаком модуля.

    \[{\log _a}{x^{2n}} = 2n \cdot {\log _a}\left| x \right|\]

Например,

    \[{\log _3}{x^5} = 5{\log _3}x;\]

    \[{\log _9}{x^2} = 2{\log _9}\left| x \right|.\]

Чтобы преобразовать логарифм корня, нужно от корня перейти к степени с дробным показателем, после чего воспользоваться предыдущим правилом.

    \[{\log _a}\sqrt[n]{x} = {\log _a}{x^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{n} \cdot {\log _a}x\]

Например,

    \[{\log _6}\sqrt[8]{3} = {\log _6}{3^{\frac{1}{8}}} = \frac{1}{8}{\log _6}3;\]

    \[\ln \sqrt[5]{4} = \ln {({2^2})^{\frac{1}{5}}} = \ln {2^{\frac{2}{5}}} = \frac{2}{5}\ln 2.\]

Если выражение под корнем — степень с чётным показателем, после преобразования под знаком логарифма запишем его под знаком модуля: 

    \[{\log _a}\sqrt[n]{{{x^{2m}}}} = \frac{{2m}}{n}{\log _a}\left| x \right|.\]

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *