Методы решения логарифмических уравнений

Различные методы решения логарифмических уравнений направлены на сведение уравнения либо к простейшему логарифмическому уравнению, либо к уравнению вида «логарифм равен логарифму«.

Одним из таких методов является введение вспомогательной переменной.

Начнём с уравнений, сводящихся к квадратным. При решении этих, казалось бы, несложных уравнений, есть нюансы, на которые следует обратить внимание, чтобы не допустить ошибки.

В общем виде решение стандартного логарифмического уравнения, сводящегося к квадратному, можно изобразить так:

${k_1}\log _a^2f(x) + {k_2}{\log _a}f(x) + {k_3} = 0$

ОДЗ: f(x)>0 (в стандартных уравнениях проблем с посторонними практически корнями не возникает).

Пусть

${\log _a}f(x) = t,$

тогда переходим к уравнению

${k_1}{t^2} + {k_2}t + {k_3} = 0$

Если квадратное уравнение имеет два корня t1 и t2, то, возвращаясь к исходной переменной, получаем два простейший логарифмических уравнения:

${\log _a}f(x) = {t_1},{\log _a}f(x) = {t_2}$

$f(x) = {a^{{t_1}}};f(x) = {a^{{t_2}}}.$

Примеры.

$1)\log _7^2x - {\log _7}{x^2} - 3 = 0$

ОДЗ: x>0

Во втором слагаемом показатель степени выносим за знак логарифма:

$\log _7^2x - 2{\log _7}x - 3 = 0$

Пусть

${\log _7}x = t,$

тогда

${t^2} - 2t - 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения —

${t_1} = 3;{t_2} = - 1$

Возвращаемся к исходной переменной\

${x_1} = {7^3};{x_2} = {7^{ - 1}}$

${x_1} = 343;{x_2} = \frac{1}{7}$

Ответ: 343; 1/7.

$2)\log _3^2{x^5} - 5{\log _{\sqrt[3]{3}}}x - 10 = 0$

ОДЗ: x>0.

В первом слагаемом при вынесении показателя степени за знак логарифма следует учесть, что этот показатель степени следует возвести в квадрат.

Второе слагаемое нужно привести к логарифму по основанию 3:

${5^2}\log _3^2x - 5{\log _{{3^{\frac{1}{3}}}}}x - 10 = 0$

$25\log _3^2x - 5 \cdot \frac{1}{{\frac{1}{3}}}{\log _3}x - 10 = 0$

$25\log _3^2x - 15{\log _3}x - 10 = 0$

Уравнение можно упростить, разделив почленно обе части на 5:

$5\log _3^2x - 3{\log _3}x - 2 = 0$

Пусть

${\log _3}x = t,$

тогда

$5{t^2} - 3t - 2 = 0$

$D = 49$

${t_1} = 1,{t_2} = - \frac{4}{{10}} = - \frac{2}{5}$

${\log _3}x = 1;{\log _3}x = - \frac{2}{5}$

${x_1} = {3^1};{x_2} = {3^{ - \frac{2}{5}}}$

${x_1} = 3;{x_2} = \frac{1}{{{3^{\frac{2}{5}}}}}$

${x_2} = \frac{1}{{\sqrt[5]{{{3^2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[5]{9}}}$

Ответ:

$3;\frac{1}{{\sqrt[5]{9}}}.$

$3)\log _{\frac{1}{2}}^2(4x) + {\log _2}\frac{{{x^2}}}{8} = 8$

ОДЗ: x>0.

В первом слагаемом логарифм нужно привести к основанию 3. Обратите внимание — «-1» в результате возведения в квадрат превращается в «+1»:

$\log _{{2^{ - 1}}}^2(4x) + {\log _2}\frac{{{x^2}}}{8} = 8$

${( - 1 \cdot {\log _2}(4x))^2} + {\log _2}\frac{{{x^2}}}{8} = 8$

От логарифма произведения переходим к сумме логарифмов, от логарифма частного — к разности логарифмов. Важно: в результате возведении в квадрат логарифма произведения появляется формула квадрата суммы двучлена:

${({\log _2}4 + {\log _2}x)^2} + ({\log _2}{x^2} - {\log _2}8) = 8$