Потенцирование | Логарифмы

Потенцирование — это действие, заключающееся в нахождении числа по данному логарифму через логарифмы других чисел (нем. potenzieren — возводить в степень, от Potenz — степень).

При решении уравнений потенцированием выражения преобразовывают с помощью свойств логарифмов, приводя их к виду

${\log _a}f(x) = c$

либо к виду

${\log _a}f(x) = {\log _a}g(x)$

Схематически логарифмическое уравнение, решаемое потенцированием, можно представить приблизительно так:

$k{\log _a}f(x) + c = {\log _a}g(x) - {\log _a}h(x)$

Решение начинаем с нахождения ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} f(x) > 0;\\ g(x) > 0;\\ h(x) > 0. \end{array} \right.$

Затем преобразовываем выражение: число перед логарифмом вносим в показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, а отдельно стоящее число представляем в виде логарифма по тому же основанию, что и остальные логарифмы:

${\log _a}{(f(x))^k} + {\log _a}{a^c} = {\log _a}g(x) - {\log _a}h(x)$

От суммы логарифмов переходим к логарифму произведения, от разности — к логарифму частного:

${\log _a}\left[ {{{(f(x))}^k} \cdot {a^c}} \right] = {\log _a}\left[ {\frac{{g(x)}}{{h(x)}}} \right]$

Теперь приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов

${(f(x))^k} \cdot {a^c} = \frac{{g(x)}}{{h(x)}}$

и решаем алгебраическое уравнение.

Рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений потенцированием.

$1){\log _2}(3 - x) + {\log _2}(1 - x) = 3$

ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} 3 - x < 0;\\ 1 - x < 0; \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 3;\\ x < 1; \end{array} \right. \Rightarrow x < 1$

(меньше меньшего).

От суммы логарифмов переходим к логарифму произведения:

${\log _2}(3 - x)(1 - x) = 3$

По определению логарифма

$(3 - x)(1 - x) = {2^3}$

$3 - 3x - x + {x^2} - 8 = 0$

${x^2} - 4x - 5 = 0$

${x_1} = 5;{x_2} = - 1$

Первый корень не входит в ОДЗ.

Ответ: -1.

$2)2{\log _3}( - x) = 1 + {\log _3}(x + 6)$

ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} - x > 0;\\ x + 6 > 0; \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 0;\\ x > - 6; \end{array} \right.$

$\Rightarrow x \in ( - 6;0).$

Число 2 вносим в показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма. Единицу представляем в виде логарифма по основанию 3

${\log _3}{( - x)^2} = {\log _3}3 + {\log _3}(x + 6)$

(-x)²=x². От суммы логарифмов переходим к логарифму произведения

${\log _3}{x^2} = {\log _3}(3 \cdot (x + 6))$

Так как равны логарифмы с одинаковыми основаниями, можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов:

${x^2} = 3 \cdot (x + 6)$

${x^2} - 3x - 18 = 0$

${x_1} = 6;{x_2} = - 3$

Первый корень не входит в ОДЗ.

Ответ: -3.

$3){\log _3}(x + 3) - {\log _3}(x - 1) =$

$= 1 - {\log _3}(4 - x)$

ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} x + 3 > 0;\\ x - 1 > 0;\\ 4 - x > 0; \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 3;\\ x > 1;\\ x < 4; \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 1;\\ x < 4; \end{array} \right.$