Логарифм в квадрате

Как найти, чему равен логарифм в квадрате?

Начнём с вычисления квадрата логарифма числа.

Запись с квадратом над знаком логарифма — общепринятый сокращенный вариант записи возведения логарифма в квадрат:

    \[\log _a^2b = {({\log _a}b)^2}\]

при условии

    \[a > 0,a \ne 1,b > 0.\]

Таким образом, чтобы вычислить логарифм в квадрате от некоторого числа по заданному основанию, надо найти, чему равен этот логарифм, и результат возвести в квадрат.

Так как квадрат любого числа является неотрицательным числом, квадрат логарифма также неотрицателен, то есть

    \[\log _a^2b \ge 0\]

для

    \[a > 0,a \ne 1,b > 0.\]

С учетом того, что только логарифм единицы равен нулю, логарифм в квадрате от единицы по любому основанию равен нулю:

    \[\log _a^21 = 0\]

Следовательно,

    \[\log _a^2b > 0\]

для

    \[a > 0,a \ne 1,b > 0,b \ne 1.\]

Примеры.

    \[1)\log _5^2125 = {({\log _5}125)^2} = {3^2} = 9;\]

    \[2)\log _3^2243 = {({\log _3}243)^2} = {5^2} = 25;\]

    \[3)\log _{32}^2128 = {({\log _{32}}128)^2} = \]

Чтобы вычислить, чему равен этот логарифм, представим его основание и число под знаком логарифма в виде степеней с одинаковым основанием:

    \[ = {({\log _{{2^5}}}{2^7})^2} = {(\frac{7}{5})^2} = \frac{{49}}{{25}} = 1,96.\]

Аналогично вычисляется десятичный логарифм в квадрате:

    \[4){\lg ^2}10000 = {(\lg 10000)^2} = {4^2} = 16;\]

    \[5){\lg ^2}0,001 = {(\lg 0,001)^2} = {( - 3)^2} = 9;\]

    \[6){\lg ^2}\sqrt[5]{{0,01}} = {(\lg \sqrt[5]{{0,01}})^2} = \]

    \[ = {(\lg {10^{ - \frac{2}{5}}})^2} = {( - \frac{2}{5})^2} = \frac{4}{{25}}.\]

Натуральный логарифм в квадрате:

    \[7){\ln ^2}{e^9} = {(\ln {e^9})^2} = {9^2} = 81;\]

    \[8){\ln ^2}\frac{1}{{{e^2}}} = {(\ln \frac{1}{{{e^2}}})^2} = {( - 2)^2} = 4;\]

    \[9){\ln ^2}\sqrt e = {(\ln \sqrt e )^2} = {(\ln {e^{\frac{1}{2}}})^2} = {(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{4}.\]

В следующий раз рассмотрим, как возвести в квадрат логарифм произведения, частного и степени.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *