Логарифм в по основанию а

Как найти логарифм числа в по основанию а?

По определению, логарифм — это показатель степени, в который надо возвести основание, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.

В том случае, когда число, стоящее под знаком логарифма, является степенью с натуральным показателем числа, стоящего в основании логарифма, нахождение логарифма проблем не вызывает.

Например,

    \[{\log _5}25 = 2,\]

    \[{\log _2}128 = 7,\]

    \[{\log _3}81 = 4.\]

А как вычислить, к примеру,

    \[{\log _{81}}27?\]

В какую степень надо возвести 81, чтобы получить 27?

Справиться с решением таких примеров помогает свойство логарифмов

    \[{\log _{{a^n}}}{b^m} = \frac{m}{n}{\log _a}b\]

Чтобы найти значение логарифма, надо и число, стоящее под знаком логарифма, и число в основании логарифма представить в виде степени с одинаковым основанием. Тогда

    \[{\log _{{a^n}}}{a^m} = \frac{m}{n}{\log _a}a = \frac{m}{n}\]

Примеры вычисления логарифмов:

    \[1){\log _{81}}27 = {\log _{{3^4}}}{3^3} = \frac{3}{4}{\log _3}3 = \frac{3}{4}\]

Обычно логарифм с одинаковыми основанием и числом под знаком логарифма опускают, поскольку логарифм а по основанию а равен 1. Пишут кратко:

    \[{\log _{{3^4}}}{3^3} = \frac{3}{4},\]

    \[2){\log _{32}}4 = {\log _{{2^5}}}{2^2} = \frac{2}{5},\]

    \[3){\log _{\frac{1}{9}}}\sqrt[7]{3} = {\log _{{3^{ - 2}}}}{3^{\frac{1}{7}}} = \frac{{\frac{1}{7}}}{{ - 2}} = \]

    \[ = \frac{1}{{7 \cdot ( - 2)}} = - \frac{1}{{14}},\]

    \[4){\log _{\frac{1}{{\sqrt[5]{{49}}}}}}\sqrt[4]{{343}} = {\log _{\frac{1}{{\sqrt[5]{{{7^2}}}}}}}\sqrt[4]{{{7^3}}} = \]

    \[ = {\log _{{7^{ - \frac{2}{5}}}}}{7^{\frac{3}{4}}} = \frac{3}{4}:( - \frac{2}{5}) = - \frac{{15}}{8} = - 1,875;\]

    \[5){\log _{\sqrt[9]{{{a^4}}}}}\sqrt[6]{{{a^5}}} = {\log _{{a^{\frac{4}{9}}}}}{a^{\frac{5}{6}}} = \frac{5}{6}:\frac{4}{9} = \]

    \[ = \frac{{5 \cdot 9}}{{6 \cdot 4}} = \frac{{5 \cdot 3}}{{2 \cdot 4}} = \frac{{15}}{8} = 1,875.\]

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *