Логарифм в показателе степени

Для преобразования выражений, содержащих логарифм в показателе степени числа (или выражения), используют основное логарифмическое тождество.

Рассмотрим на примерах, как упростить выражение, содержащее в показателе степени логарифмы.

    \[1){4^{\frac{1}{2} + {{\log }_2}5}}\]

По свойству степени

    \[{a^{m + n}} = {a^m} \cdot {a^n}\]

от степени с суммой в показателе переходим к произведению степеней

    \[1){4^{\frac{1}{2} + {{\log }_2}5}} = {4^{\frac{1}{2}}} \cdot {4^{^{{{\log }_2}5}}} = \]

От степени с рациональным показателем переходим к корню; основание степени преобразовываем, чтобы можно было использовать основное логарифмическое тождество:

    \[ = \sqrt 4 \cdot {({2^2})^{{{\log }_2}5}} = 2 \cdot {2^{2{{\log }_2}5}} = \]

    \[ = 2 \cdot {2^{{{\log }_2}{5^2}}} = 2 \cdot {5^2} = 50;\]

    \[2){9^{2 - {{\log }_3}7}}\]

Применим свойство степени

    \[{a^{m - n}} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}}\]

    \[{9^{2 - {{\log }_3}7}} = \frac{{{9^2}}}{{{9^{{{\log }_3}7}}}} = \]

    \[ = \frac{{81}}{{{3^2}^{{{\log }_3}7}}} = \frac{{81}}{{{3^{{{\log }_3}{7^2}}}}} = \frac{{81}}{{{7^2}}} = \frac{{81}}{{49}} = 1\frac{{32}}{{49}};\]

    \[3){2^{{{\log }_4}3 + {{\log }_8}5}}\]

Значение выражения можно найти двумя способами.

1 способ

Логарифмы, стоящие в показатели степени, приведем к одинаковым основаниям:

    \[{2^{{{\log }_4}3 + {{\log }_8}5}} = {2^{{{\log }_{{2^2}}}3 + {{\log }_{{2^3}}}5}} = \]

показатель степени, стоящей в основании логарифма, вынесем за знак логарифма, затем внесём в показатель степени числа, стоящего под знаком логарифма:

    \[ = {2^{\frac{1}{2}{{\log }_2}3 + \frac{1}{3}{{\log }_2}5}} = {2^{{{\log }_2}{3^{\frac{1}{2}}} + {{\log }_2}{5^{\frac{1}{3}}}}} = \]

Сумма логарифмов равна логарифму произведения. Затем применим основное логарифмическое тождество:

    \[ = {2^{{{\log }_2}({3^{\frac{1}{2}}} \cdot {5^{\frac{1}{3}}})}} = {3^{\frac{1}{2}}} \cdot {5^{\frac{1}{3}}} = \sqrt 3 \cdot \sqrt[3]{5} = \]

    \[ = \sqrt[6]{{{3^3} \cdot {5^2}}} = \sqrt[6]{{675}};\]

2 способ:

Перейдем к произведению степеней, затем каждый множитель преобразуем отдельно:

    \[{2^{{{\log }_4}3 + {{\log }_8}5}} = {2^{{{\log }_4}3}} \cdot {2^{{{\log }_8}5}} = \]

    \[ = {2^{\frac{1}{2}{{\log }_2}3}} \cdot {2^{\frac{1}{3}{{\log }_2}5}} = {({2^{{{\log }_2}3}})^{\frac{1}{2}}} \cdot {({2^{{{\log }_2}5}})^{\frac{1}{3}}} = \]

    \[ = {3^{\frac{1}{2}}} \cdot {5^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[6]{{675}};\]

    \[4){({10^{\frac{{{{\log }_8}7}}{{{{\log }_4}7}}}} \cdot {7^{\frac{{{{\log }_{27}}10}}{{{{\log }_9}10}}}})^{{{\log }_{70}}125}} = \]

Выносим показатели степеней из оснований перед логарифмами:

    \[ = {({10^{\frac{{\frac{1}{3}{{\log }_2}7}}{{\frac{1}{2}{{\log }_2}7}}}} \cdot {7^{\frac{{\frac{1}{3}{{\log }_3}10}}{{\frac{1}{2}{{\log }_3}10}}}})^{{{\log }_{70}}125}} = \]

После этого дроби можно сократить:

    \[ = {({10^{\frac{2}{3}}} \cdot {7^{\frac{2}{3}}})^{{{\log }_{70}}125}} = {70^{\frac{2}{3}{{\log }_{70}}125}} = \]

    \[ = {70^{{{\log }_{70}}{{125}^{\frac{2}{3}}}}} = {125^{\frac{2}{3}}} = {5^{3 \cdot \frac{2}{3}}} = {5^2} = 25.\]

      

2 комментария

  • Софья:

    Здравствуйте! Объясните, пожалуйста почему после примера

        \[ = {2^{{{\log }_2}({3^{\frac{1}{2}}} \cdot {5^{\frac{1}{3}}})}} = {3^{\frac{1}{2}}} \cdot {5^{\frac{1}{3}}} = \sqrt 3 \cdot \sqrt[3]{5} = \]

    сделали так:

        \[ = \sqrt[6]{{{3^3} \cdot {5^2}}} = \sqrt[6]{{675}};\]

    Какими формулами пользовались? Заранее, спасибо.

    • admin:

      Используем свойство корней

          \[\sqrt[n]{{{a^m}}} = \sqrt[{n \cdot k}]{{{a^{m \cdot k}}}}\]

          \[\sqrt 3 \cdot\sqrt[3]{5} = \sqrt[{2 \cdot 3}]{{{3^3}}}\cdot\sqrt[{3 \cdot 2}]{{{5^2}}} = \sqrt[6]{{{3^3}\cdot{5^2}}} = \sqrt[6]{{675}}.\]

      Можно было сделать иначе, еще на этапе степеней преобразовать:

          \[{3^{\frac{1}{2}}}\cdot{5^{\frac{1}{3}}} = {3^{\frac{3}{6}}}\cdot{5^{\frac{2}{6}}} = {({3^3} \cdot {5^2})^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{{3^3} \cdot {5^2}}}.\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *