Натуральный логарифм

Число e — иррациональное число.

    \[e \approx 2,72\]

Определение

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, то есть показатель степени, в который надо возвести основание e, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.

Как и в случае десятичного логарифма, для натурального логарифма принята укороченная форма записи и чтения.

Вместо

    \[{\log _e}a\]

пишут

    \[\ln a\]

Читают не «логарифм a по основанию e», а «натуральный логарифм a».

Как и для других логарифмов, натуральный логарифм единицы равен нулю:

    \[\ln 1 = 0\]

Найдем натуральные логарифмы некоторых чисел:

    \[{\ln e = 1}\]

    \[{\ln {e^2} = 2}\]

    \[{\ln {e^3} = 3}\]

    \[{\ln {e^4} = 4}\]

    \[{\ln {e^5} = 5}\]

    \[{\ln {e^6} = 6}\]

    \[{\ln \frac{1}{e} = - 1}\]

    \[{\ln \frac{1}{{{e^2}}} = - 2}\]

    \[{\ln \frac{1}{{{e^3}}} = - 3}\]

    \[{\ln \frac{1}{{{e^4}}} = - 4}\]

    \[{\ln \frac{1}{{{e^5}}} = - 5}\]

    \[{\ln \frac{1}{{{e^6}}} = - 6}\]

Если под знаком натурального логарифма стоит корень, то переходим от корня к дробной степени и получаем:

    \[\ln \sqrt[n]{{{a^m}}} = \ln {a^{\frac{m}{n}}} = \frac{m}{n}\ln a.\]

В частности,

    \[\ln \sqrt[n]{{{e^m}}} = \ln {e^{\frac{m}{n}}} = \frac{m}{n}\ln e = \frac{m}{n}\]

В общем случае, для любого k

    \[\ln {e^k} = k\]

Например,

    \[\ln {e^{\sqrt[3]{5}}} = \sqrt[3]{5}.\]

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *