Натуральный логарифм

Число e — иррациональное число.

$e \approx 2,72$

Определение

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, то есть показатель степени, в который надо возвести основание e, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.

Как и в случае десятичного логарифма, для натурального логарифма принята укороченная форма записи и чтения.

Вместо

${\log _e}a$

пишут

$\ln a$

Читают не «логарифм a по основанию e», а «натуральный логарифм a».

Как и для других логарифмов, натуральный логарифм единицы равен нулю:

$\ln 1 = 0$

Найдем натуральные логарифмы некоторых чисел:

${\ln e = 1}$

${\ln {e^2} = 2}$

${\ln {e^3} = 3}$

${\ln {e^4} = 4}$

${\ln {e^5} = 5}$

${\ln {e^6} = 6}$

${\ln \frac{1}{e} = - 1}$

${\ln \frac{1}{{{e^2}}} = - 2}$

${\ln \frac{1}{{{e^3}}} = - 3}$

${\ln \frac{1}{{{e^4}}} = - 4}$

${\ln \frac{1}{{{e^5}}} = - 5}$

${\ln \frac{1}{{{e^6}}} = - 6}$

Если под знаком натурального логарифма стоит корень, то переходим от корня к дробной степени и получаем:

$\ln \sqrt[n]{{{a^m}}} = \ln {a^{\frac{m}{n}}} = \frac{m}{n}\ln a.$

В частности,

$\ln \sqrt[n]{{{e^m}}} = \ln {e^{\frac{m}{n}}} = \frac{m}{n}\ln e = \frac{m}{n}$

В общем случае, для любого k

$\ln {e^k} = k$

Например,

$\ln {e^{\sqrt[3]{5}}} = \sqrt[3]{5}.$

Добавить комментарий Отменить ответ