Как возвести логарифм в квадрат

Как возвести логарифм в квадрат, когда под знаком логарифма стоит произведение или частное? Как упростить квадрат логарифма степени?

Как возвести в квадрат логарифм произведения.

Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, квадрат логарифма произведения равен квадрату суммы логарифмов множителей:

$\log _a^2(xy) = {({\log _a}x + {\log _a}y)^2} =$

$= \log _a^2x + 2{\log _a}x \cdot {\log _a}y + \log _a^2y$

при

$a > 0,a \ne 1,x > 0,y > 0.$

Если изменить условия:

$a > 0,a \ne 1,xy > o,$

то каждый из множителей под знаком логарифма нужно брать по модулю:

$\log _a^2(xy) = {({\log _a}\left| x \right| + {\log _a}\left| y \right|)^2} =$

$= \log _a^2\left| x \right| + 2{\log _a}\left| x \right| \cdot {\log _a}\left| y \right| + \log _a^2\left| y \right|$

Как возвести в квадрат логарифм частного.

Так как логарифм частного равен разности логарифмов, то квадрат логарифма частного равен квадрату разности логарифмов делимого и делителя:

$\log _a^2(\frac{x}{y}) = {({\log _a}x - {\log _a}y)^2} =$

где

$a > 0,a \ne 1,x > 0,y > 0.$

При изменении условий

$a > 0,a \ne 1,\frac{x}{y} > o,$

под знаком логарифма появляются модули:

$\log _a^2(\frac{x}{y}) = {({\log _a}\left| x \right| - {\log _a}\left| y \right|)^2} =$

$= \log _a^2\left| x \right| - 2{\log _a}\left| x \right| \cdot {\log _a}\left| y \right| + \log _a^2\left| y \right|$

Возведение в квадрат логарифма степени.

В логарифме степени показатель можно вынести за знак логарифма.

При возведении в квадрат логарифма степени показатель степени также следует возвести в квадрат:

$\log _a^2{x^m} = {(m{\log _a}x)^2} = {m^2}\log _a^2x$

при

$a > 0,a \ne 1,x > 0.$

Если

$a > 0,a \ne 1,x \ne 0,$

то при чётном показателе степени при вынесении показателя за знак логарифма под знаком логарифма появляется модуль:

$\log _a^2{x^{2m}} = {(2m{\log _a}\left| x \right|)^2} = 4{m^2}\log _a^2\left| x \right|$

Аналогично возводят в квадрат логарифм со степенью в основании:

$\log _{{a^n}}^2{x^m} = {(\frac{m}{n}{\log _a}x)^2} = \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}\log _a^2x,$

при

$a > 0,a \ne 1,x > 0;$

$\log _{{a^n}}^2{x^{2m}} = {(\frac{{2m}}{n}{\log _a}\left| x \right|)^2} = \frac{{4{m^2}}}{{{n^2}}}\log _a^2\left| x \right|$

при

$a > 0,a \ne 1,x \ne 0.$