Десятичный логарифм

Определение

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10.

Запись десятичного логарифма имеет упрощенную форму, она короче записи остальных логарифмов и число 10 в основании не пишут:

    \[{\log _{10}}a = \lg a\]

Чтение десятичного логарифма также сокращено: вместо «логарифм a по основанию 10» читают «десятичный логарифм a».

Точное значение десятичного логарифм можно найти для степеней числа 10.

Как и для любого другого логарифма, десятичный логарифм единицы равен нулю:

    \[\lg 1 = 0\]

Вычислим десятичные логарифмы для некоторых чисел.

    \[\begin{array}{*{20}{c}} {\lg 10 = 1}&{\lg 0,1 = - 1}\\ {\lg 100 = 2}&{\lg 0,01 = - 2}\\ {\lg 1000 = 3}&{\lg 0,001 = - 3}\\ {\lg 10000 = 4}&{\lg 0,0001 = - 4}\\ {\lg 100000 = 5}&{\lg 0,00001 = - 5}\\ {\lg 1000000 = 6}&{\lg 0,000001 = - 6} \end{array}\]

Легко заметить, что десятичный логарифм 10; 100; 1000 и т.д. равен количеству нулей рядом с 1.

Десятичный логарифм 0,1; 0,01; 0,001 равен количеству цифр после запятой (со знаком «минус»).

Если десятичный логарифм содержит корень, то переходим от корня к дробной степени и получаем

    \[\lg \sqrt[n]{{{a^m}}} = \lg {a^{\frac{m}{n}}} = \frac{m}{n}\lg a.\]

В частности,

    \[\lg \sqrt[n]{{{{10}^m}}} = \lg {10^{\frac{m}{n}}} = \frac{m}{n},\]

    \[\lg \sqrt {10} = \lg {10^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2},\]

    \[\lg \frac{1}{{\sqrt[n]{{{{10}^m}}}}} = \lg {10^{ - \frac{m}{n}}} = - \frac{m}{n}.\]

В общем случае, для любого k

    \[\lg {10^k} = k\]

Например,

    \[\lg {10^{\sqrt[3]{7}}} = \sqrt[3]{7}\]

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *