с в степени логарифм

Как можно преобразовать выражение вида «с в степени логарифм»? Это зависит от основания степени и основания логарифма.

По основному логарифмическому тождеству,

${a^{{{\log }_a}b}} = b$

(где a>0, a≠1, b>0).

Например,

${7^{{{\log }_7}5}} = 5;$

${10^{\lg 3}} = 3;$

${e^{\ln 9}} = 9.$

А как преобразовать выражение, когда основание степени и основание логарифма разные и не могут быть приведены к одному числу?

${c^{{{\log }_a}b}} = ?$

В этом случае нам поможет формула перехода к новому основанию:

${\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}$

где

$c > 0,c \ne 1,a > 0,a \ne 1,b > 0$

Чтобы воспользоваться основным логарифмическим тождеством, перейдем к основанию, равному основанию степени:

${c^{{{\log }_a}b}} = {c^{\frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}}} =$

В показателе степени нам нужен только числитель этой дроби. Преобразовываем выражение:

$= {c^{{{\log }_c}b \cdot \frac{1}{{{{\log }_c}a}}}} = {({c^{{{\log }_c}b}})^{\frac{1}{{{{\log }_c}a}}}} = {b^{\frac{1}{{{{\log }_c}a}}}} = {b^{{{\log }_a}c}}$

(в последнем переходе использовали свойство

$\frac{1}{{{{\log }_c}a}} = {\log _a}c).$

Руководствуясь этими рассуждениями, докажем, что

${c^{{{\log }_a}b}} - {b^{{{\log }_a}c}} = 0$

Доказательство:

Один из логарифмов оставляем без изменения (например, второй), другой — преобразовываем:

$= {({c^{{{\log }_c}b}})^{\frac{1}{{{{\log }_c}a}}}} - {b^{{{\log }_a}c}} = {b^{{{\log }_a}c}} - {b^{{{\log }_a}c}} = 0.$

Что и требовалось доказать.

При решении примеров обычно эти рассуждения проводят для каждого конкретного случая.

Например, нужно найти значение выражения

${4^{{{\log }_7}5}} - {5^{{{\log }_7}4}}$

Решение:

${4^{{{\log }_7}5}} - {5^{{{\log }_7}4}} = {4^{\frac{{{{\log }_4}5}}{{{{\log }_4}7}}}} - {5^{{{\log }_7}4}} =$

$= {({4^{{{\log }_4}5}})^{\frac{1}{{{{\log }_4}7}}}} - {5^{{{\log }_7}4}} = {5^{{{\log }_7}4}} - {5^{{{\log }_7}4}} = 0.$

Добавить комментарий Отменить ответ