с в степени логарифм

Как можно преобразовать выражение вида «с в степени логарифм»? Это зависит от основания степени и основания логарифма.

По основному логарифмическому тождеству,

    \[{a^{{{\log }_a}b}} = b\]

(где a>0, a≠1, b>0).

Например,

    \[{7^{{{\log }_7}5}} = 5;\]

    \[{10^{\lg 3}} = 3;\]

    \[{e^{\ln 9}} = 9.\]

А как преобразовать выражение, когда основание степени и основание логарифма разные и не могут быть приведены к одному числу?

    \[{c^{{{\log }_a}b}} = ?\]

В этом случае нам поможет формула перехода к новому основанию:

    \[{\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\]

где

    \[c > 0,c \ne 1,a > 0,a \ne 1,b > 0\]

Чтобы воспользоваться основным логарифмическим тождеством, перейдем к основанию, равному основанию степени:

    \[{c^{{{\log }_a}b}} = {c^{\frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}}} = \]

В показателе степени нам нужен только числитель этой дроби. Преобразовываем выражение:

    \[ = {c^{{{\log }_c}b \cdot \frac{1}{{{{\log }_c}a}}}} = {({c^{{{\log }_c}b}})^{\frac{1}{{{{\log }_c}a}}}} = {b^{\frac{1}{{{{\log }_c}a}}}} = {b^{{{\log }_a}c}}\]

(в последнем переходе использовали свойство

    \[\frac{1}{{{{\log }_c}a}} = {\log _a}c).\]

 

Руководствуясь этими рассуждениями, докажем, что

    \[{c^{{{\log }_a}b}} - {b^{{{\log }_a}c}} = 0\]

Доказательство:

Один из логарифмов оставляем без изменения (например, второй), другой — преобразовываем:

    \[ = {({c^{{{\log }_c}b}})^{\frac{1}{{{{\log }_c}a}}}} - {b^{{{\log }_a}c}} = {b^{{{\log }_a}c}} - {b^{{{\log }_a}c}} = 0.\]

Что и требовалось доказать.

 

При решении примеров обычно эти рассуждения проводят для каждого конкретного случая.

Например, нужно найти значение выражения

    \[{4^{{{\log }_7}5}} - {5^{{{\log }_7}4}}\]

Решение:

    \[{4^{{{\log }_7}5}} - {5^{{{\log }_7}4}} = {4^{\frac{{{{\log }_4}5}}{{{{\log }_4}7}}}} - {5^{{{\log }_7}4}} = \]

    \[ = {({4^{{{\log }_4}5}})^{\frac{1}{{{{\log }_4}7}}}} - {5^{{{\log }_7}4}} = {5^{{{\log }_7}4}} - {5^{{{\log }_7}4}} = 0.\]

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *