Основное логарифмическое тождество

Основное логарифмическое тождество — это равенство

${a^{{{\log }_a}b}} = b$

где

$a > 0,b > 0,a \ne 1$

Например,

$1){5^{{{\log }_5}7}} = 7;$

$2){10^{\lg 3}} = 3;$

$2){e^{\ln 8}} = 8.$

Многие логарифмические выражения можно упростить, используя основное логарифмическое свойство и другие свойства логарифмов, а также свойства степеней.

Примеры.

$1){25^{{{\log }_5}7}} =$

Применить основное логарифмическое тождество пока не можем, так как основание степени и основание логарифма различны. Представим 25=5²:

$= {5^{2{{\log }_5}7}} =$

Число 2, стоящее перед логарифмом, вносим в показатель степени под знак логарифма. После этого можем воспользоваться основным логарифмическим тождеством:

$= {5^{{{\log }_5}{7^2}}} = {7^2} = 49;$

$2){4^{\frac{1}{{{{\log }_3}4}}}} = {4^{{{\log }_4}3}} = 3;$

Если поменять местами основание логарифма и выражение, стоящее под знаком логарифма, то также появляется возможность использовать основное логарифмическое тождество.

$3){4^{\frac{2}{{{{\log }_3}4}}}} =$

От предыдущего примера этот отличается появлением 2 в числителе дроби. Представим показатель степени в виде произведения дроби и 2:

$= {4^{\frac{1}{{{{\log }_3}4}} \cdot 2}} = {({4^{\frac{1}{{{{\log }_3}4}}}})^2} = {({4^{{{\log }_4}3}})^2} = {3^2} = 9;$

$4){4^{\frac{1}{{2{{\log }_3}4}}}} =$

Здесь 2 стоит в знаменателе. Соответственно, при разложении показателя степени на множители, 2 оставим в знаменателе дроби:

$= {4^{\frac{1}{{{{\log }_3}4}} \cdot \frac{1}{2}}} = {({4^{\frac{1}{{{{\log }_3}4}}}})^{\frac{1}{2}}} =$

$= {({4^{{{\log }_4}3}})^{\frac{1}{2}}} = {3^{\frac{1}{2}}} = \sqrt 3 ;$

$5){3^{\log _8^{ - 1}3}} = {3^{\frac{1}{{{{\log }_8}3}}}} = {3^{{{\log }_3}8}} = 8;$

так как

$\log _a^{ - 1}b = \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = {\log _b}a$

$6){10^{ - 3\lg 2}} = {10^{\lg {2^{ - 3}}}} = {2^{ - 3}} = \frac{1}{8};$

$7){6^{\log _6^27}} = {6^{{{\log }_6}7 \cdot {{\log }_6}7}} =$

$= {({6^{{{\log }_6}7}})^{{{\log }_6}7}} = {7^{{{\log }_6}7}}.$

В следующий раз рассмотрим более сложные примеры, содержащие логарифм в степени числа.

Добавить комментарий Отменить ответ