1 деленная на логарифм

Чему равна 1, деленная на логарифм? По свойству логарифма

$\frac{1}{{{{\log }_a}b}} = {\log _b}a$

$(a > 0,a \ne 1,b > 0,b \ne 1).$

Таким образом, при делении единицы на логарифм получаем логарифм, в котором число под знаком логарифма и число в основание логарифма меняются местами.

Это свойство верно, в частности, для десятичных логарифмов:

$\frac{1}{{\lg a}} = {\log _a}10$

и для натуральных логарифмов:

$\frac{1}{{\ln a}} = {\log _a}e$

Примеры:

$1)\frac{1}{{{{\log }_7}5}} = {\log _5}7,$

$2)\frac{1}{{{{\log }_2}3}} = {\log _3}2,$

$3)\frac{1}{{{{\log }_8}10}} = \lg 8,$

$4)\frac{1}{{{{\log }_9}e}} = \ln 9.$

Из этого свойства следует, что деление числа на логарифм можно заменить умножением этого числа на логарифм, в котором числа (или выражения), стоящие под знаком логарифма и в основании логарифма, меняются местами:

$\frac{k}{{{{\log }_a}b}} = k \cdot \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = k \cdot {\log _b}a$