Переход к новому основанию логарифма

Когда требуется осуществить переход к новому основанию логарифма, пользуются одним из свойств логарифмов

    \[{\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\]

где

    \[c > 0,c \ne 1,a > 0,a \ne 1,b > 0\]

(Для запоминания этой формулы удобно воспользоваться следующей ассоциацией: то, что вверху, идёт вверх, то, что внизу — идёт вниз.

b, стоящее вверху, под знаком логарифма, записываем снова вверху, в числителе, под знак логарифма с новым основанием.

a, стоящее внизу, в основании логарифма, записываем вниз, в знаменателе, под знак логарифма с новым основанием).

Примеры перехода к новому основанию логарифма:

    \[1){\log _4}11 = \frac{{{{\log }_2}11}}{{{{\log }_2}4}} = \frac{{{{\log }_2}11}}{2};\]

    \[2){\log _5}81 = \frac{{{{\log }_3}81}}{{{{\log }_3}5}} = \frac{4}{{{{\log }_3}5}};\]

    \[3){\log _7}125 = \frac{{{{\log }_5}125}}{{{{\log }_5}7}} = \frac{3}{{{{\log }_5}7}}.\]

Перейти можно к любому новому основанию (положительному и отличному от единицы).

В том числе, любой логарифм можно представить в виде частного десятичных логарифмов:

    \[{\log _a}b = \frac{{\lg b}}{{\lg a}}\]

или в виде частного натуральных логарифмов:

    \[{\log _a}b = \frac{{\ln b}}{{\ln a}}\]

    \[(a > 0,a \ne 1,b > 0)\]

Например,

    \[{\log _4}9 = \frac{{\lg 9}}{{\lg 4}}\]

    \[{\log _2}6 = \frac{{\ln 6}}{{\ln 2}}.\]

Частный случай этой формулы —

    \[{\log _b}a = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\]

— позволяет изменить основание логарифма на число, стоящее под знаком логарифма.

Еще одно свойство логарифма

    \[{\log _{{a^n}}}{b^n} = {\log _a}b\]

— дает возможность изменить основание логарифма в случае, когда оно может быть представлено в виде степени.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *