Примеры логарифмических уравнений

Рассмотрим примеры логарифмических уравнений, сводящихся к уравнениям, решаемых методом логарифмирования.

    \[1){6^{\log _6^2x}} + {x^{{{\log }_6}x}} = 12\]

ОДЗ:x>0.

Преобразуем первое слагаемое так:

    \[{6^{\log _6^2x}} = {6^{{{\log }_6}x \cdot {{\log }_6}x}} = {({6^{{{\log }_6}x}})^{{{\log }_6}x}} = {x^{{{\log }_6}x}}\]

Отсюда,

    \[{x^{{{\log }_6}x}} + {x^{{{\log }_6}x}} = 12\]

    \[2{x^{{{\log }_6}x}} = 12\]

Разделив обе части уравнения на 2, получим

    \[{x^{{{\log }_6}x}} = 6\]

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 6:

    \[{\log _6}{x^{{{\log }_6}x}} = {\log _6}6\]

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма, в правой — вычисляем значение логарифма:

    \[{\log _6}x \cdot {\log _6}x = 1\]

    \[\log _6^2x = 1\]

Пусть

    \[{\log _6}x = t,\]

тогда

    \[{t^2} = 1\]

    \[{t_1} = 1;{t_2} = - 1\]

Обратная замена:

    \[{\log _6}x = 1;{\log _6}x = - 1\]

    \[{x_1} = {6^1};{x_2} = {6^{ - 1}}\]

    \[{x_1} = 6;{x_2} = \frac{1}{6}\]

Ответ: 6; 1/6.

    \[2){5^{\lg x}} + {x^{\lg 5}} = 50\]

ОДЗ: x>0.

Одно из слагаемых в левой части уравнения оставим без изменения (например, второе, чтобы x не появился в основании логарифма), другое — преобразуем:

    \[{5^{\frac{{{{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}10}}}} + {x^{\lg 5}} = 50\]

    \[{({5^{{{\log }_5}x}})^{\frac{1}{{{{\log }_5}10}}}} + {x^{\lg 5}} = 50\]

    \[{x^{\frac{1}{{{{\log }_5}10}}}} + {x^{\lg 5}} = 50\]

    \[{x^{\lg 5}} + {x^{\lg 5}} = 50\]

    \[2{x^{\lg 5}} = 50\]

Обе части уравнения разделим на 2:

    \[{x^{\lg 5}} = 25\]

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

    \[\lg {x^{\lg 5}} = \lg 25\]

Показатель степени вынесем за знак логарифма

    \[\lg 5 \cdot \lg x = \lg 25\]

Разделим обе части на lg5:

    \[\lg x = \frac{{\lg 25}}{{\lg 5}}\]

По формуле

    \[\frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}} = {\log _a}b,\]

    \[\frac{{\lg 25}}{{\lg 5}} = {\log _5}25 = 2\]

Отсюда,

    \[\lg x = 2\]

    \[x = {10^2}\]

    \[x = 100\]

Ответ: 100.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *