Показательные уравнения: разложение на множители

Продолжаем изучать показательные уравнения: разложение на множители — следующий шаг в изучении их методов решения.

Один из способов разложения на множители — вынесение общего множителя за скобки — для решения показательных уравнений мы уже применяли. Перейдём к способу группировки и формулам сокращённого умножения.

    \[1){6^x} - 9 \cdot {2^x} - 8 \cdot {3^x} + 72 = 0\]

ОДЗ: x∈R.

Группируем первое слагаемое с третьим, второе — с четвёртым

    \[({6^x} - 8 \cdot {3^x}) + ( - 9 \cdot {2^x} + 72) = 0\]

Из первых скобок выносим общий множитель три в степени икс, из вторых — -9 (при вынесении «-» за скобки знак каждого слагаемого в скобках изменится на противоположный):

    \[{3^x}({2^x} - 8) - 9({2^x} - 8) = 0\]

Теперь вынесем за скобки общий множитель разность двух в степени икс и восьми:

    \[({2^x} - 8) \cdot ({3^x} - 9) = 0\]

Это — уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый множитель:

    \[{2^x} - 8 = 0;{3^x} - 9 = 0\]

Пришли к простейшим показательным уравнениям:

    \[{2^x} = 8;{3^x} = 9\]

    \[{2^x} = {2^3};{3^x} = {3^2}\]

    \[x = 3;x = 2\]

Ответ: 2; 3.

    \[2){8^x} - 21 \cdot {4^x} + 84 \cdot {2^x} - 64 = 0\]

ОДЗ: x∈R.

Сгруппируем 1-е слагаемое с 4-м, а 2-е — с 3-м:

    \[({8^x} - 64) + ( - 21 \cdot {4^x} + 84 \cdot {2^x}) = 0\]

Замечаем, что в  первых скобках есть  разность кубов двух выражений.

    \[({({2^x})^3} - {4^3}) + ( - 21 \cdot {2^2}^x + 84 \cdot {2^x}) = 0\]

Выражение в первых скобках раскладываем по формуле разности кубов, из вторых скобок выносим общий множитель — произведение -21 и двух в степени икс:

    \[({2^x} - 4)({({2^x})^2} + {2^x} \cdot 4 + {4^2}) - \]

    \[ - 21 \cdot {2^x}({2^x} - 4) = 0\]

    \[({2^x} - 4)({2^{2x}} + 4 \cdot {2^x} + 16) - \]

    \[ - 21 \cdot {2^x}({2^x} - 4) = 0\]

Общий множитель — разность 2 в степени икс и 4 — выносим за скобки:

    \[({2^x} - 4) \cdot ({2^{2x}} + 4 \cdot {2^x} + 16 - 21 \cdot {2^x}) = 0\]

    \[({2^x} - 4) \cdot ({2^{2x}} - 17 \cdot {2^x} + 16) = 0\]

Получили уравнение типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

    \[{2^x} - 4 = 0;{2^{2x}} - 17 \cdot {2^x} + 16 = 0\]

    \[1){2^x} = 4\]

    \[{2^x} = {2^2}\]

    \[x = 2\]

    \[2){2^{2x}} - 17 \cdot {2^x} + 16 = 0\]

Это — показательное уравнение, сводящееся к квадратному. Замена

    \[{2^x} = t,t > 0\]

приводит к уравнению

    \[{t^2} - 17t + 16 = 0\]

Оба его корня

    \[{t_1} = 1;{t_2} = 16\]

удовлетворяют условию t>0. Обратная замена

    \[{2^x} = 1;{2^x} = 16\]

    \[{2^x} = {2^0};{2^x} = {2^4}\]

    \[x = 0;x = 4\]

Ответ: 0; 2; 4.

    \[3){9^{{x^2}}} - 2 \cdot {3^{{x^2} + x + 6}} + {9^{x + 6}} = 0\]

ОДЗ: x∈R.

Перепишем уравнение в виде

    \[{({3^{{x^2}}})^2} - 2 \cdot {3^{{x^2}}} \cdot {3^{x + 6}} + {({3^{x + 6}})^2} = 0\]

В левой части полный квадрат разности:

    \[{({3^{{x^2}}} - {3^{x + 6}})^2} = 0\]

Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю

    \[{3^{{x^2}}} - {3^{x + 6}} = 0\]

откуда

    \[{3^{{x^2}}} = {3^{x + 6}}\]

    \[{x^2} = x + 6\]

    \[{x^2} - x - 6 = 0\]

Корни этого квадратного уравнения —

    \[{x_1} = - 2;{x_2} = 3.\]

Ответ: -2; 3.

Последнее уравнение — однородное показательное уравнение. Его можно решить иначе. Решение однородных показательных уравнений начнем изучать в следующий раз.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *