Показательные уравнения: разложение

Продолжаем изучать показательные уравнения: разложение на множители — следующий шаг в изучении их методов решения.

Один из способов разложения на множители — вынесение общего множителя за скобки — для решения показательных уравнений мы уже применяли. Перейдём к способу группировки и формулам сокращённого умножения.

$1){6^x} - 9 \cdot {2^x} - 8 \cdot {3^x} + 72 = 0$

ОДЗ: x∈R.

Группируем первое слагаемое с третьим, второе — с четвёртым

$({6^x} - 8 \cdot {3^x}) + ( - 9 \cdot {2^x} + 72) = 0$

Из первых скобок выносим общий множитель три в степени икс, из вторых — -9 (при вынесении «-» за скобки знак каждого слагаемого в скобках изменится на противоположный):

${3^x}({2^x} - 8) - 9({2^x} - 8) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель разность двух в степени икс и восьми:

$({2^x} - 8) \cdot ({3^x} - 9) = 0$

Это — уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый множитель:

${2^x} - 8 = 0;{3^x} - 9 = 0$

Пришли к простейшим показательным уравнениям:

${2^x} = 8;{3^x} = 9$

${2^x} = {2^3};{3^x} = {3^2}$

$x = 3;x = 2$

Ответ: 2; 3.

$2){8^x} - 21 \cdot {4^x} + 84 \cdot {2^x} - 64 = 0$

ОДЗ: x∈R.

Сгруппируем 1-е слагаемое с 4-м, а 2-е — с 3-м:

$({8^x} - 64) + ( - 21 \cdot {4^x} + 84 \cdot {2^x}) = 0$

Замечаем, что в первых скобках есть разность кубов двух выражений.

$({({2^x})^3} - {4^3}) + ( - 21 \cdot {2^2}^x + 84 \cdot {2^x}) = 0$

Выражение в первых скобках раскладываем по формуле разности кубов, из вторых скобок выносим общий множитель — произведение -21 и двух в степени икс:

$({2^x} - 4)({({2^x})^2} + {2^x} \cdot 4 + {4^2}) -$

$- 21 \cdot {2^x}({2^x} - 4) = 0$

$({2^x} - 4)({2^{2x}} + 4 \cdot {2^x} + 16) -$

$- 21 \cdot {2^x}({2^x} - 4) = 0$

Общий множитель — разность 2 в степени икс и 4 — выносим за скобки:

$({2^x} - 4) \cdot ({2^{2x}} + 4 \cdot {2^x} + 16 - 21 \cdot {2^x}) = 0$

$({2^x} - 4) \cdot ({2^{2x}} - 17 \cdot {2^x} + 16) = 0$

Получили уравнение типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

${2^x} - 4 = 0;{2^{2x}} - 17 \cdot {2^x} + 16 = 0$

$1){2^x} = 4$

${2^x} = {2^2}$

$x = 2$

$2){2^{2x}} - 17 \cdot {2^x} + 16 = 0$

Это — показательное уравнение, сводящееся к квадратному. Замена

${2^x} = t,t > 0$

приводит к уравнению

${t^2} - 17t + 16 = 0$

Оба его корня

${t_1} = 1;{t_2} = 16$

удовлетворяют условию t>0. Обратная замена

${2^x} = 1;{2^x} = 16$

${2^x} = {2^0};{2^x} = {2^4}$

$x = 0;x = 4$

Ответ: 0; 2; 4.

$3){9^{{x^2}}} - 2 \cdot {3^{{x^2} + x + 6}} + {9^{x + 6}} = 0$

ОДЗ: x∈R.

Перепишем уравнение в виде

${({3^{{x^2}}})^2} - 2 \cdot {3^{{x^2}}} \cdot {3^{x + 6}} + {({3^{x + 6}})^2} = 0$

В левой части полный квадрат разности:

${({3^{{x^2}}} - {3^{x + 6}})^2} = 0$

Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю

${3^{{x^2}}} - {3^{x + 6}} = 0$

откуда

${3^{{x^2}}} = {3^{x + 6}}$

${x^2} = x + 6$

${x^2} - x - 6 = 0$

Корни этого квадратного уравнения —

${x_1} = - 2;{x_2} = 3.$

Ответ: -2; 3.

Последнее уравнение — однородное показательное уравнение. Его можно решить иначе. Решение однородных показательных уравнений начнем изучать в следующий раз.

Показательные уравнения: разложение на множители

Добавить комментарий Отменить ответ