Уравнения со степенями

Рассмотрим показательные уравнения со степенями, содержащими две степени с разными основаниями и одинаковыми показателями:

    \[{a^{f(x)}} = {b^{f(x)}}\]

(где a и b — положительные числа, отличные от единицы).

Уравнения такого вида называются однородными показательными уравнениями первой степени. Однородные уравнения решаются делением на одну из степеней:

    \[{a^{f(x)}} = {b^{f(x)}}\_\_\_\left| : \right.{b^{f(x)}}\]

(так как b>0, то

    \[{b^{f(x)}} > 0\]

при любом показателе f(x), то есть деление на степень не приводит к потере корней).

    \[\frac{{{a^{f(x)}}}}{{{b^{f(x)}}}} = \frac{{{b^{f(x)}}}}{{{b^{f(x)}}}}\]

В результате деление получаем с одной стороны частное степеней с одинаковыми показателями, с другой — единицу:

    \[\frac{{{a^{f(x)}}}}{{{b^{f(x)}}}} = 1\]

По свойству степеней,

    \[{(\frac{a}{b})^{f(x)}} = 1,\]

а единицу можно представить как степень с любым основанием и показателем 0:

    \[{(\frac{a}{b})^{f(x)}} = {(\frac{a}{b})^0}\]

Приравниваем показатели:

    \[f(x) = 0.\]

Рассмотрим примеры решений такого вида уравнений со степенями.

    \[1){7^{2x - 5}} = {11^{2x - 5}}\]

ОДЗ: x∈R.

Разделим обе части уравнения на степень, стоящую в правой части уравнения:

    \[{7^{2x - 5}} = {11^{2x - 5}}\_\_\_\left| : \right.{11^{2x - 5}} \ne 0\]

    \[\frac{{{7^{2x - 5}}}}{{{{11}^{2x - 5}}}} = 1\]

Преобразуем левую часть уравнения

    \[{(\frac{7}{{11}})^{2x - 5}} = 1\]

и представим единицу в виде степени с таким же основанием, что и степень в левой части

    \[{(\frac{7}{{11}})^{2x - 5}} = {(\frac{7}{{11}})^0}\]

Из равенства степеней с одинаковыми основаниями следует равенство показателей этих степеней:

    \[2x - 5 = 0\]

    \[2x = 5\]

    \[x = 2,5\]

Ответ: 2,5.

    \[2){10^{{x^2} - 6x + 5}} = {2^{{x^2} - 6x + 5}}\]

ОДЗ: x∈R.

Делим обе части уравнения на степень, стоящую в правой части:

    \[{10^{{x^2} - 6x + 5}} = {2^{{x^2} - 6x + 5}}\_\_\_\left| : \right.{2^{{x^2} - 6x + 5}} \ne 0\]

    \[\frac{{{{10}^{{x^2} - 6x + 5}}}}{{{2^{{x^2} - 6x + 5}}}} = 1\]

    \[{5^{{x^2} - 6x + 5}} = 1\]

    \[{5^{{x^2} - 6x + 5}} = {5^0}\]

Приравняв показатели степеней, приходим к квадратному уравнению

    \[{x^2} - 6x + 5 = 0,\]

корни которого —

    \[{x_1} = 1;{x_2} = 5.\]

Ответ: 1; 5.

    \[3){(\sqrt 5 )^{\sin x}} = {3^{\sin x}}\]

ОДЗ: x∈R.

    \[{(\sqrt 5 )^{\sin x}} = {3^{\sin x}}\_\_\_\left| : \right.{3^{\sin x}} \ne 0\]

    \[{(\frac{{\sqrt 5 }}{3})^{\sin x}} = 1\]

    \[{(\frac{{\sqrt 5 }}{3})^{\sin x}} = {(\frac{{\sqrt 5 }}{3})^0}\]

    \[\sin x = 0\]

Это — простейшее тригонометрическое уравнение, корни которого

    \[x = \pi n,n \in Z.\]

Ответ: πn, n∈Z.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>