Уравнения со степенями

Рассмотрим показательные уравнения со степенями, содержащими две степени с разными основаниями и одинаковыми показателями:

${a^{f(x)}} = {b^{f(x)}}$

(где a и b — положительные числа, отличные от единицы).

Уравнения такого вида называются однородными показательными уравнениями первой степени. Однородные уравнения решаются делением на одну из степеней:

${a^{f(x)}} = {b^{f(x)}}\_\_\_\left| : \right.{b^{f(x)}}$

(так как b>0, то

${b^{f(x)}} > 0$

при любом показателе f(x), то есть деление на степень не приводит к потере корней).

$\frac{{{a^{f(x)}}}}{{{b^{f(x)}}}} = \frac{{{b^{f(x)}}}}{{{b^{f(x)}}}}$

В результате деление получаем с одной стороны частное степеней с одинаковыми показателями, с другой — единицу:

$\frac{{{a^{f(x)}}}}{{{b^{f(x)}}}} = 1$

По свойству степеней,

${(\frac{a}{b})^{f(x)}} = 1,$

а единицу можно представить как степень с любым основанием и показателем 0:

${(\frac{a}{b})^{f(x)}} = {(\frac{a}{b})^0}$

Приравниваем показатели:

$f(x) = 0.$

Рассмотрим примеры решений такого вида уравнений со степенями.

$1){7^{2x - 5}} = {11^{2x - 5}}$

Разделим обе части уравнения на степень, стоящую в правой части уравнения:

${7^{2x - 5}} = {11^{2x - 5}}\_\_\_\left| : \right.{11^{2x - 5}} \ne 0$

$\frac{{{7^{2x - 5}}}}{{{{11}^{2x - 5}}}} = 1$

Преобразуем левую часть уравнения

${(\frac{7}{{11}})^{2x - 5}} = 1$

и представим единицу в виде степени с таким же основанием, что и степень в левой части

${(\frac{7}{{11}})^{2x - 5}} = {(\frac{7}{{11}})^0}$

Из равенства степеней с одинаковыми основаниями следует равенство показателей этих степеней:

$2x - 5 = 0$

$2x = 5$

$x = 2,5$

Ответ: 2,5.

$2){10^{{x^2} - 6x + 5}} = {2^{{x^2} - 6x + 5}}$

ОДЗ: x∈R.

Делим обе части уравнения на степень, стоящую в правой части:

${10^{{x^2} - 6x + 5}} = {2^{{x^2} - 6x + 5}}\_\_\_\left| : \right.{2^{{x^2} - 6x + 5}} \ne 0$

$\frac{{{{10}^{{x^2} - 6x + 5}}}}{{{2^{{x^2} - 6x + 5}}}} = 1$

${5^{{x^2} - 6x + 5}} = 1$

${5^{{x^2} - 6x + 5}} = {5^0}$

Приравняв показатели степеней, приходим к квадратному уравнению

${x^2} - 6x + 5 = 0,$

корни которого —

${x_1} = 1;{x_2} = 5.$

Ответ: 1; 5.

$3){(\sqrt 5 )^{\sin x}} = {3^{\sin x}}$

ОДЗ: x∈R.

${(\sqrt 5 )^{\sin x}} = {3^{\sin x}}\_\_\_\left| : \right.{3^{\sin x}} \ne 0$

${(\frac{{\sqrt 5 }}{3})^{\sin x}} = 1$

${(\frac{{\sqrt 5 }}{3})^{\sin x}} = {(\frac{{\sqrt 5 }}{3})^0}$

$\sin x = 0$

Это — простейшее тригонометрическое уравнение, корни которого

$x = \pi n,n \in Z.$

Ответ: πn, n∈Z.

Добавить комментарий Отменить ответ