Методы решения показательных уравнений

Продолжаем изучать методы решения показательных уравнений. В прошлый раз мы рассмотрели уравнения, содержащие взаимно-обратные степени с одинаковыми основаниями.

Перейдём к взаимно-обратным степеням с одинаковыми показателями и иррациональными основаниями.

    \[1){(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } )^x} + {(\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } )^x} = 18\]

ОДЗ: x∈R.

Докажем, что основания степеней — взаимно-обратные числа:

    \[\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } \cdot \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } = \]

    \[ = \sqrt {(9 - 4\sqrt 5 ) \cdot (9 + 4\sqrt 5 )} = \]

    \[ = \sqrt {{9^2} - {{(4\sqrt 5 )}^2}} = \sqrt {81 - {4^2} \cdot {{(\sqrt 5 )}^2}} = \]

    \[ = \sqrt {81 - 16 \cdot 5} = \sqrt {81 - 80} = \sqrt 1 = 1.\]

То есть,

    \[\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } = \frac{1}{{\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}.\]

Теперь введём вспомогательную переменную. Пусть

    \[{(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } )^x} = t,t > 0,\]

тогда

    \[{(\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } )^x} = \frac{1}{t}.\]

Получили дробное рациональное уравнение

    \[t + \frac{1}{t} = 18\]

Так как t>0, можем умножить обе части уравнения на t:

    \[t + \frac{1}{t} = 18\_\_\_\left| { \cdot t} \right.\]

    \[{t^2} + 1 = 18t\]

    \[{t^2} - 18t + 1 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

    \[D = {b^2} - 4ac = {( - 18)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 320,\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{18 \pm \sqrt {320} }}{2} = \]

    \[ = \frac{{18 \pm \sqrt {64 \cdot 5} }}{2} = \frac{{18 \pm 8\sqrt 5 }}{2} = \frac{{2(9 \pm 4\sqrt 5 )}}{2} = \]

    \[ = 9 \pm 4\sqrt 5 ,\]

(здесь удобнее было бы найти D/4)

    \[{t_1} = 9 - 4\sqrt 5 ;{t_2} = 9 + 4\sqrt 5 .\]

Оба корня удовлетворяют условию t>0.Обратная замена

    \[1){(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } )^x} = 9 - 4\sqrt 5 \]

    \[{(9 - 4\sqrt 5 )^{\frac{x}{2}}} = {(9 - 4\sqrt 5 )^1}\]

    \[\frac{x}{2} = 1\]

    \[x = 2\]

    \[2){(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } )^x} = 9 + 4\sqrt 5 \]

    \[{(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } )^x} = \frac{1}{{9 - 4\sqrt 5 }}\]

    \[{(9 - 4\sqrt 5 )^{\frac{x}{2}}} = {(9 - 4\sqrt 5 )^{ - 1}}\]

    \[\frac{x}{2} = - 1\]

    \[x = - 2\]

Ответ: ±2.

    \[2){(2 + \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x + 1}} + {(2 - \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x - 1}} = \]

    \[ = \frac{4}{{2 - \sqrt 3 }}.\]

ОДЗ: x∈R.

Воспользуемся свойствами степеней

    \[{a^{m + n}} = {a^m} \cdot {a^n},{a^{m - n}} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}},\]

получим

    \[{(2 + \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x + 1}} = {(2 + \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x}} \cdot (2 + \sqrt 3 ),\]

    \[{(2 - \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x - 1}} = \frac{{{{(2 - \sqrt 3 )}^{{x^2} - 2x}}}}{{2 - \sqrt 3 }}.\]

Так как

    \[(2 + \sqrt 3 ) \cdot (2 - \sqrt 3 ) = {2^2} - {(\sqrt 3 )^2} = 4 - 1 = 1,\]

основания степеней — взаимно-обратные числа, а значит,

    \[2 - \sqrt 3 = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }}.\]

Замена

    \[{(2 + \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x}} = t,t > 0,\]

тогда

    \[{(2 - \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x}} = \frac{1}{t}.\]

Пришли к уравнению

    \[(2 + \sqrt 3 ) \cdot t + \frac{1}{{(2 - \sqrt 3 ) \cdot t}} = \frac{4}{{2 - \sqrt 3 }}\]

Умножив обе части уравнения на

    \[{(2 - \sqrt 3 ) \cdot t}\]

    \[(2 + \sqrt 3 ) \cdot t \cdot (2 - \sqrt 3 ) \cdot t + \frac{{(2 - \sqrt 3 ) \cdot t}}{{(2 - \sqrt 3 ) \cdot t}} = \]

    \[ = \frac{{4 \cdot (2 - \sqrt 3 ) \cdot t}}{{2 - \sqrt 3 }},\]

приходим к квадратному уравнению

    \[{t^2} + 1 = 4t\]

    \[{t^2} - 4t + 1 = 0\]

    \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 4}}{2})^2} - 1 \cdot 1 = 3,\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{\frac{4}{2} \pm \sqrt 3 }}{1} = 2 \pm \sqrt 3 .\]

    \[{t_1} = 2 + \sqrt 3 ,{t_2} = 2 - \sqrt 3 .\]

Оба корня удовлетворяют условию t>0. Обратная замена

    \[1){(2 + \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x}} = 2 + \sqrt 3 \]

    \[{x^2} - 2x = 1\]

    \[{x^2} - 2x - 1 = 0\]

    \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 2}}{2})^2} - 1 \cdot ( - 1) = 2,\]

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{\frac{2}{2} \pm \sqrt 2 }}{1} = 1 \pm \sqrt 2 .\]

    \[2){(2 + \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x}} = 2 - \sqrt 3 \]

    \[{(2 + \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x}} = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }}\]

    \[{(2 + \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x}} = {(2 - \sqrt 3 )^{ - 1}}\]

    \[{x^2} - 2x = - 1\]

    \[{x^2} - 2x + 1 = 0\]

    \[{(x - 1)^2} = 0\]

    \[x = 1.\]

Ответ:

    \[1 \pm \sqrt 2 ;1.\]

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *