Квадратные показательные уравнения

Квадратные показательные уравнения — так иногда называют показательные уравнения, сводящиеся к квадратным.

Признаки показательного уравнения, сводящегося к квадратному:

1) уравнение содержит ровно две степени с одинаковыми основаниями;

2) один из показателей ровно в два раза больше другого.

Общий вид показательного уравнения, приводимого к квадратному:

    \[{k_1}{a^{2f(x)}} + {k_2}{a^{f(x)}} + {k_3} = 0,\]

где

    \[a > 0,a \ne 1,{k_1},{k_2},{k_3} - \]

некоторые числа.

Уравнения такого вида с помощью введения вспомогательной переменной приводят к квадратному. Пусть

    \[{a^{f(x)}} = t.\]

Поскольку степень с положительным основанием является положительным числом, можем ввести ограничение на t: t>0.

Получаем квадратное уравнение относительно t. Находим его корни. Если квадратное уравнение имеет два корня t1 и t2, проверяем, удовлетворяют ли они условию, наложенному на t: t1>0? t2>0?

Если t1 и t2 — положительные числа, возвращаемся к исходной переменной:

    \[{a^{f(x)}} = {t_1};{a^{f(x)}} = {t_2}\]

и решаем простейшие показательные уравнения.

Рассмотрим примеры решения сводящихся к квадратным показательных уравнений.

    \[1){2^{2x}} - 10 \cdot {2^x} + 16 = 0\]

ОДЗ: x∈R. Пусть

    \[{2^x} = t,t > 0,\]

тогда

    \[{t^2} - 10t + 16 = 0\]

Корни этого квадратного уравнения — t1=2, t2=8. Оба корня удовлетворяют условию t>0. Возвращаемся к исходной переменной

    \[{2^x} = 2;{2^x} = 8\]

    \[{2^x} = {2^1};{2^x} = {2^3}\]

    \[x = 1;x = 3\]

Ответ: 1; 3.

    \[2){64^x} - 7 \cdot {8^x} - 8 = 0\]

ОДЗ: x∈R.

    \[{8^{2x}} - 7 \cdot {8^x} - 8 = 0\]

Пусть

    \[{8^x} = t,t > 0,\]

тогда

    \[{t^2} - 7t - 8 = 0\]

Корни этого квадратного уравнения — t1=8, t2= -1. Второй корень не удовлетворяет условию t>0. Возвращаемся к исходной переменной:

    \[{8^x} = 8\]

    \[{8^x} = {8^1}\]

    \[x = 1\]

Ответ: 1.

    \[3){3^{2x + 1}} - 84 \cdot {3^{x - 1}} + 9 = 0\]

ОДЗ: x∈R. Используя свойства степеней

    \[{a^{m + n}} = {a^m} \cdot {a^n},{a^{m - n}} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}},\]

преобразуем степени, чтобы избавиться от числовых слагаемых в показателях:

    \[{3^{2x}} \cdot {3^1} - 84 \cdot \frac{{{3^x}}}{{{3^1}}} + 9 = 0\]

    \[3 \cdot {3^{2x}} - 28 \cdot {3^x} + 9 = 0\]

Замена

    \[{3^x} = t,t > 0\]

даёт квадратное уравнение

    \[3 \cdot {t^2} - 28 \cdot t + 9 = 0\]

Его корни

    \[{t_1} = 9;{t_2} = \frac{1}{3}\]

Оба корня удовлетворяют условию t>0. Обратная замена

    \[{3^x} = 9;{3^x} = \frac{1}{3}\]

    \[{3^x} = {3^2};{3^x} = {3^{ - 1}}\]

    \[x = 2;x = - 1\]

Ответ: 2; -1.

    \[4){4^{t{g^2}x}} + 8 = \frac{9}{2} \cdot {2^{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}\]

ОДЗ: cosx≠0, то есть

    \[x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z.\]

Так как

    \[t{g^2}x + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}},\]

то

    \[{2^{2t{g^2}x}} + 8 = \frac{9}{2} \cdot {2^{t{g^2}x + 1}}\]

    \[{({2^{t{g^2}x}})^2} + 8 - \frac{9}{2} \cdot 2 \cdot {2^{t{g^2}x}} = 0\]

Пусть

    \[{2^{t{g^2}x}} = t,t > 0,\]

тогда

    \[{t^2} - 9t + 8 = 0\]

Это квадратное уравнение имеет два корня t1=1 и t2=8. Оба они удовлетворяют условию t>0. Обратная замена

    \[{2^{t{g^2}x}} = 1;{2^{t{g^2}x}} = 8\]

    \[{2^{t{g^2}x}} = {2^0};{2^{t{g^2}x}} = {2^3}\]

    \[t{g^2}x = 0;t{g^2}x = 3\]

    \[tgx = 0;tgx = \pm \sqrt 3 \]

Следовательно,

    \[x = \pi n,n \in Z;x = \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,k \in Z.\]

Ответ:

    \[x = \pi n,n \in Z;x = \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,k \in Z.\]

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *