Деление логарифмов

В каких случаях можно выполнить деление логарифмов? Возможно ли деление логарифмов с разными основаниями?

I. Деление логарифмов с одинаковыми основаниями выполняется по формуле

$\frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}} = {\log _a}b$

где

$a > 0,b > 0,c > 0,a \ne 1,c \ne 1$

Например,

$1)\frac{{{{\log }_3}8}}{{{{\log }_3}5}} = {\log _5}8;$

$2)\frac{{{{\log }_7}81}}{{{{\log }_7}3}} = {\log _3}81 = 4;$

$3)\frac{{{{\log }_2}100}}{{{{\log }_2}10}} = \lg 100 = 2;$

$4)\frac{{\lg 49}}{{\lg 7}} = {\log _7}49 = 2;$

$5)\frac{{\ln 32}}{{\ln 8}} = {\log _8}32 = {\log _{{2^3}}}{2^5} = \frac{5}{3}.$

Деление логарифмов с разными основаниями возможно в некоторых случаях.

Например, если после вынесения показателей степеней за знак логарифма в числителе и знаменателе получим одинаковые логарифмы и дробь можно на них сократить.

Например,

$1)\frac{{{{\log }_{36}}9}}{{{{\log }_{216}}9}} = \frac{{{{\log }_{{6^2}}}9}}{{{{\log }_{{6^3}}}9}} =$

$= \frac{{\frac{1}{2}{{\log }_6}9}}{{\frac{1}{3}{{\log }_6}9}} = \frac{1}{2}:\frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5.$

$2)\frac{{{{\log }_{64}}25}}{{{{\log }_{128}}125}} = \frac{{{{\log }_{{2^6}}}{5^2}}}{{{{\log }_{{2^7}}}{5^3}}} =$

$= \frac{{\frac{2}{6}{{\log }_2}5}}{{\frac{3}{7}{{\log }_2}5}} = \frac{1}{3}:\frac{3}{7} = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{9}.$

В виде формулы этот случай деления логарифмов с разными основаниями можно представить так:

$\frac{{{{\log }_{{a^n}}}{b^m}}}{{{{\log }_{{a^l}}}{b^k}}} = \frac{{\frac{m}{n}{{\log }_a}b}}{{\frac{k}{l}{{\log }_a}b}} = \frac{m}{n}:\frac{k}{l} = \frac{{ml}}{{nk}}$