Деление логарифмов

В каких случаях можно выполнить деление логарифмов? Возможно ли деление логарифмов с разными основаниями?

I. Деление логарифмов с одинаковыми основаниями выполняется по формуле

    \[\frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}} = {\log _a}b\]

где

    \[a > 0,b > 0,c > 0,a \ne 1,c \ne 1\]

Например,

    \[1)\frac{{{{\log }_3}8}}{{{{\log }_3}5}} = {\log _5}8;\]

    \[2)\frac{{{{\log }_7}81}}{{{{\log }_7}3}} = {\log _3}81 = 4;\]

    \[3)\frac{{{{\log }_2}100}}{{{{\log }_2}10}} = \lg 100 = 2;\]

    \[4)\frac{{\lg 49}}{{\lg 7}} = {\log _7}49 = 2;\]

    \[5)\frac{{\ln 32}}{{\ln 8}} = {\log _8}32 = {\log _{{2^3}}}{2^5} = \frac{5}{3}.\]

Деление логарифмов с разными основаниями возможно в некоторых случаях.

Например, если после вынесения показателей степеней за знак логарифма в числителе и знаменателе получим одинаковые логарифмы и дробь можно на них сократить.

Например,

    \[1)\frac{{{{\log }_{36}}9}}{{{{\log }_{216}}9}} = \frac{{{{\log }_{{6^2}}}9}}{{{{\log }_{{6^3}}}9}} = \]

    \[ = \frac{{\frac{1}{2}{{\log }_6}9}}{{\frac{1}{3}{{\log }_6}9}} = \frac{1}{2}:\frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5.\]

    \[2)\frac{{{{\log }_{64}}25}}{{{{\log }_{128}}125}} = \frac{{{{\log }_{{2^6}}}{5^2}}}{{{{\log }_{{2^7}}}{5^3}}} = \]

    \[ = \frac{{\frac{2}{6}{{\log }_2}5}}{{\frac{3}{7}{{\log }_2}5}} = \frac{1}{3}:\frac{3}{7} = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{9}.\]

В  виде формулы этот случай деления логарифмов с разными основаниями можно представить так:

    \[\frac{{{{\log }_{{a^n}}}{b^m}}}{{{{\log }_{{a^l}}}{b^k}}} = \frac{{\frac{m}{n}{{\log }_a}b}}{{\frac{k}{l}{{\log }_a}b}} = \frac{m}{n}:\frac{k}{l} = \frac{{ml}}{{nk}}\]

    \[a > 0,b > 0,a \ne 1,b \ne 1,\]

    \[m,n,k,l \in Q\]

В общем случае при делении логарифмов с разными основаниями нужно попытаться упростить выражение, используя различные свойства логарифмов.

Например,

    \[\frac{{{{\log }_3}12}}{{{{\log }_{36}}3}} - \frac{{{{\log }_3}4}}{{{{\log }_{108}}3}} = \]

    \[ = {\log _3}12 \cdot \frac{1}{{{{\log }_{36}}3}} - {\log _3}4 \cdot \frac{1}{{{{\log }_{108}}3}} = \]

    \[ = {\log _3}12 \cdot {\log _3}36 - {\log _3}4 \cdot {\log _3}108 = \]

    \[ = {\log _3}(3 \cdot 4){\log _3}({3^2} \cdot 4) - \]

    \[ - {\log _3}4 \cdot {\log _3}({3^3} \cdot 4) = \]

    \[ = ({\log _3}3 + {\log _3}4)(2{\log _3}3 + {\log _3}4) - \]

    \[ - {\log _3}4 \cdot (3{\log _3}3 + {\log _3}4) = \]

    \[ = (1 + {\log _3}4)(2 + {\log _3}4) - \]

    \[ - {\log _3}4 \cdot (3 + {\log _3}4) = \]

    \[ = 2 + {\log _3}4 + 2{\log _3}4 + \log _3^24 - \]

    \[ - 3{\log _3}4 - \log _3^24 = 2.\]

      

2 комментария

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *