Обратные логарифмы в уравнениях

Взаимно обратные логарифмы — это логарифмы, произведение которых равно единице. В обратных логарифмах основание и выражение под знаком логарифма меняются местами:

    \[{\log _a}b\]

и

    \[{\log _b}a\]

Обратные логарифмы в уравнениях содержат переменную. Традиционный способ решения логарифмических уравнений, содержащих обратные логарифмы, состоит в переходе к одному основанию и введению новой переменной.

В общем виде классическое логарифмическое уравнение с обратными логарифмами выглядит так:

    \[{k_1}{\log _a}f(x) + {k_2}{\log _{f(x)}}a + {k_3} = 0\]

ОЗД:

    \[\left\{ \begin{array}{l} f(x) > 0;\\ f(x) \ne 1. \end{array} \right.\]

Приведем логарифмы к одинаковому основанию:

    \[{k_1}{\log _a}f(x) + \frac{{{k_2}}}{{{{\log }_a}f(x)}} + {k_3} = 0\]

Далее — введение новой переменной. Пусть

    \[{\log _a}f(x) = t,\]

где t≠0. Тогда

    \[{k_1}t + \frac{{{k_2}}}{t} + {k_3} = 0\]

Обе части этого уравнения можно умножить на t (так как t≠0):

    \[{k_1}t + \frac{{{k_2}}}{t} + {k_3} = 0\_\_\_\left| { \cdot t \ne 0} \right.\]

    \[{k_1}{t^2} + {k_2} + {k_3}t = 0\]

Решаем полученное квадратное уравнение относительно переменной t. Найдя его корни, возвращаемся к исходной переменной:

    \[f(x) = {a^{{t_1}}};f(x) = {a^{{t_2}}}.\]

Примеры.

    \[1){\log _5}x + {\log _x}25 = 3\]

Решение:ОЗД:

    \[\left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ x \ne 1. \end{array} \right.\]

Преобразуем 25=5² и вынесем показатель степени за знак логарифма:

    \[{\log _5}x + {\log _x}{5^2} = 3\]

    \[{\log _5}x + 2{\log _x}5 - 3 = 0\]

Второй логарифм приводим к основанию 5:

    \[{\log _5}x + \frac{2}{{{{\log }_5}x}} - 3 = 0\]

Пусть

    \[{\log _5}x = t,\]

где t≠0, тогда получаем новое уравнение относительно переменной t:

    \[t + \frac{2}{t} - 3 = 0\_\_\_\left| { \cdot t \ne 0} \right.\]

    \[{t^2} + 2 - 3t = 0\]

    \[{t^2} - 3t + 2 = 0\]

Корни квадратного уравнения —

    \[{t_1} = 1;{t_2} = 2\]

Оба корня удовлетворяет ОДЗ. Возвращаемся к исходной переменной:

    \[{x_1} = {5^1};{x_2} = {5^2}\]

    \[{x_1} = 5;{x_2} = 25\]

Ответ: 5; 25.

    \[2){\log _x}(9{x^2}) \cdot \log _3^2x = 4\]

ОДЗ:

    \[\left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ x \ne 1. \end{array} \right.\]

Данное уравнение содержит взаимно обратные логарифмы и сводится к традиционному виду путем несложных преобразований.

Первый множитель представляет собой логарифм произведения. Представляем его в виде суммы логарифмов:

    \[({\log _x}9 + {\log _x}{x^2}) \cdot \log _3^2x = 4\]

    \[({\log _x}{3^2} + {\log _x}{x^2}) \cdot \log _3^2x = 4\]

    \[(2{\log _x}3 + 2{\log _x}x) \cdot \log _3^2x = 4\]

    \[{\log _x}x = 1,{\log _x}3 = \frac{1}{{{{\log }_3}x}}\]

    \[(\frac{2}{{{{\log }_3}x}} + 2) \cdot \log _3^2x = 4\]

Введём новую переменную. Пусть

    \[{\log _3}x = t,t \ne 0.\]

Тогда

    \[(\frac{2}{t} + 2) \cdot {t^2} = 4\]

    \[2t + 2{t^2} - 4 = 0\_\_\_\left| {:2} \right.\]

    \[{t^2} + t - 2 = 0\]

Находим корни этого квадратного уравнения:

    \[{t_1} = - 2;{t_2} = 1\]

и возвращаемся к исходной переменной:

    \[{\log _3}x = - 2;{\log _3}x = 1\]

    \[{x_1} = {3^{ - 2}};{x_1} = {3^1}\]

    \[{x_1} = \frac{1}{{{3^2}}};{x_2} = 3\]

    \[{x_1} = \frac{1}{9};{x_2} = 3\]

Ответ: 1/9; 3.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *