Обратные логарифмы в уравнениях

Взаимно обратные логарифмы — это логарифмы, произведение которых равно единице. В обратных логарифмах основание и выражение под знаком логарифма меняются местами:

${\log _a}b$

${\log _b}a$

Обратные логарифмы в уравнениях содержат переменную. Традиционный способ решения логарифмических уравнений, содержащих обратные логарифмы, состоит в переходе к одному основанию и введению новой переменной.

В общем виде классическое логарифмическое уравнение с обратными логарифмами выглядит так:

${k_1}{\log _a}f(x) + {k_2}{\log _{f(x)}}a + {k_3} = 0$

ОЗД:

$\left\{ \begin{array}{l} f(x) > 0;\\ f(x) \ne 1. \end{array} \right.$

Приведем логарифмы к одинаковому основанию:

${k_1}{\log _a}f(x) + \frac{{{k_2}}}{{{{\log }_a}f(x)}} + {k_3} = 0$

Далее — введение новой переменной. Пусть

${\log _a}f(x) = t,$

где t≠0. Тогда

${k_1}t + \frac{{{k_2}}}{t} + {k_3} = 0$

Обе части этого уравнения можно умножить на t (так как t≠0):

${k_1}t + \frac{{{k_2}}}{t} + {k_3} = 0\_\_\_\left| { \cdot t \ne 0} \right.$

${k_1}{t^2} + {k_2} + {k_3}t = 0$

Решаем полученное квадратное уравнение относительно переменной t. Найдя его корни, возвращаемся к исходной переменной:

$f(x) = {a^{{t_1}}};f(x) = {a^{{t_2}}}.$

Примеры.

$1){\log _5}x + {\log _x}25 = 3$

Решение:ОЗД:

$\left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ x \ne 1. \end{array} \right.$

Преобразуем 25=5² и вынесем показатель степени за знак логарифма:

${\log _5}x + {\log _x}{5^2} = 3$

${\log _5}x + 2{\log _x}5 - 3 = 0$

Второй логарифм приводим к основанию 5:

${\log _5}x + \frac{2}{{{{\log }_5}x}} - 3 = 0$

Пусть

${\log _5}x = t,$

где t≠0, тогда получаем новое уравнение относительно переменной t:

$t + \frac{2}{t} - 3 = 0\_\_\_\left| { \cdot t \ne 0} \right.$

${t^2} + 2 - 3t = 0$

${t^2} - 3t + 2 = 0$

Корни квадратного уравнения —

${t_1} = 1;{t_2} = 2$

Оба корня удовлетворяет ОДЗ. Возвращаемся к исходной переменной:

${x_1} = {5^1};{x_2} = {5^2}$

${x_1} = 5;{x_2} = 25$

Ответ: 5; 25.

$2){\log _x}(9{x^2}) \cdot \log _3^2x = 4$

ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ x \ne 1. \end{array} \right.$

Данное уравнение содержит взаимно обратные логарифмы и сводится к традиционному виду путем несложных преобразований.

Первый множитель представляет собой логарифм произведения. Представляем его в виде суммы логарифмов:

$({\log _x}9 + {\log _x}{x^2}) \cdot \log _3^2x = 4$

$({\log _x}{3^2} + {\log _x}{x^2}) \cdot \log _3^2x = 4$

$(2{\log _x}3 + 2{\log _x}x) \cdot \log _3^2x = 4$

${\log _x}x = 1,{\log _x}3 = \frac{1}{{{{\log }_3}x}}$

$(\frac{2}{{{{\log }_3}x}} + 2) \cdot \log _3^2x = 4$

Введём новую переменную. Пусть

${\log _3}x = t,t \ne 0.$

Тогда

$(\frac{2}{t} + 2) \cdot {t^2} = 4$

$2t + 2{t^2} - 4 = 0\_\_\_\left| {:2} \right.$

${t^2} + t - 2 = 0$

Находим корни этого квадратного уравнения:

${t_1} = - 2;{t_2} = 1$

и возвращаемся к исходной переменной:

${\log _3}x = - 2;{\log _3}x = 1$

${x_1} = {3^{ - 2}};{x_1} = {3^1}$

${x_1} = \frac{1}{{{3^2}}};{x_2} = 3$

${x_1} = \frac{1}{9};{x_2} = 3$

Ответ: 1/9; 3.

Добавить комментарий Отменить ответ