Логарифм равен логарифму

Уравнения, в которых один логарифм равен другому логарифму, можно считать простейшими в случае, когда основания этих логарифмов равны:

${\log _a}f(x) = {\log _a}g(x)$

При решении любого логарифмического уравнения следует определить его ОДЗ либо выполнить проверку найденных корней. В уравнениях вида «логарифм равен логарифму» нахождение ОДЗ может быть упрощено.

Под знаком логарифма должно стоять положительное число, следовательно,

ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} f(x) > 0\\ g(x) > 0 \end{array} \right.$

По свойству логарифмической функции, из того что равны логарифмы по одному основанию

${\log _a}f(x) = {\log _a}g(x)$

следует, что выражения, стоящие под знаками логарифмов, также равны:

$f(x) = g(x)$

А раз они равны между собой, если одно из выражений положительно, то другое — также положительно. Следовательно, для нахождения области допустимых значений уравнения достаточно выбрать только одно из двух условий (разумеется, выбирают то неравенство, которое проще решить).

Примеры.

$1){\log _{0,3}}({x^2} + 2x - 7) = {\log _{0,3}}(x - 1)$