Логарифм равен логарифму

Уравнения, в которых один логарифм равен другому логарифму, можно считать простейшими в случае, когда основания этих логарифмов равны:

    \[{\log _a}f(x) = {\log _a}g(x)\]

При решении любого логарифмического уравнения следует определить его ОДЗ либо выполнить проверку найденных корней. В уравнениях вида «логарифм равен логарифму» нахождение ОДЗ может быть упрощено.

Под знаком логарифма должно стоять положительное число, следовательно,

ОДЗ:

    \[\left\{ \begin{array}{l} f(x) > 0\\ g(x) > 0 \end{array} \right.\]

По свойству логарифмической функции, из того что равны логарифмы по одному основанию

    \[{\log _a}f(x) = {\log _a}g(x)\]

следует, что выражения, стоящие под знаками логарифмов, также равны:

    \[f(x) = g(x)\]

А раз они равны между собой, если одно из выражений положительно, то другое — также положительно. Следовательно, для нахождения области допустимых значений уравнения достаточно выбрать только одно из двух условий (разумеется, выбирают то неравенство, которое проще решить).

Примеры.

    \[1){\log _{0,3}}({x^2} + 2x - 7) = {\log _{0,3}}(x - 1)\]

ОДЗ:

    \[x - 1 > 0\]

    \[x > 1\]

Так как логарифмы по одинаковому основанию равны, приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов:

    \[{x^2} + 2x - 7 = x - 1\]

    \[{x^2} + 2x - 7 - x + 1 = 0\]

    \[{x^2} + x - 6 = 0\]

    \[{x_1} = - 3,{x_2} = 2\]

Первый корень не входит в ОДЗ.

Ответ:2.

    \[2){\log _4}(2{x^2} + 4x - 7) - {\log _4}(x + 2) = 0\]

Если разность логарифмов равна нулю,  уравнение может быть представлено в виде «логарифм равен логарифму»:

    \[{\log _4}(2{x^2} + 4x - 7) = {\log _4}(x + 2)\]

Поэтому в ОДЗ достаточно записать лишь одно условие:

    \[x + 2 > 0\]

    \[x > - 2\]

Поскольку равны логарифмы с одинаковыми основаниями, выражения, стоящие под знаками логарифмов, тоже равны:

    \[2{x^2} + 4x - 7 = x + 2\]

    \[2{x^2} + 4x - 7 - x - 2 = 0\]

    \[2{x^2} + 3x - 9 = 0\]

    \[D = {b^2} - 4ac = {3^2} - 4 \cdot 2 \cdot ( - 9) = 81,\]

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - 3 \pm 9}}{4}\]

    \[{x_1} = 1,5;{x_2} = - 3\]

Второй корень не входит в ОДЗ.

Ответ: 1,5.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *