ОДЗ логарифма | Логарифмы

ОДЗ логарифма следует непосредственно из определения логарифма.

По определению, логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число знаком логарифма:

${\log _a}b = c, \Rightarrow b = {a^c}$

Основание степени должно быть положительным числом, отличным от единицы.

При возведении в любую степень такого числа всегда получается положительное число.

Таким образом, область допустимых значений логарифма (ОДЗ логарифма)

${\log _{g(x)}}f(x)$

состоит из трёх условий:

1) Под знаком логарифма должно стоять положительное число:

$f(x) > 0;$

2-3) В основании логарифма должно стоять положительное число, отличное от единицы:

$g(x) > 0;$

$g(x) \ne 1.$

Все три условия должны быть выполнены одновременно.

Таким образом, чтобы найти ОДЗ логарифма

${\log _{g(x)}}f(x),$

надо решить систему из трёх неравенств:

$\left\{ \begin{array}{l} f(x) > 0;\\ g(x) > 0;\\ g(x) \ne 1. \end{array} \right.$

Если в основании логарифма стоит число:

${\log _a}f(x),$

ОДЗ логарифма содержит всего одно условие:

$f(x) > 0.$

Если под знаком логарифма стоит число, а в основании — выражение с переменной:

${\log _{g(x)}}b,$

то в область допустимых значений нужно записать два условия:

$\left\{ \begin{array}{l} g(x) > 0;\\ g(x) \ne 1 \end{array} \right.$

Примеры нахождения ОДЗ логарифма рассмотрим отдельно.