Сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения выражений, стоящих под знаками логарифмов слагаемых:

    \[{\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}(xy)\]

(x>0, y>0).

С помощью этого свойства в некоторых случаях можно найти, чему равна сумма логарифмов, даже если логарифм каждого слагаемого не является рациональным числом.

Например,

    \[{\log _{18}}9 + {\log _{18}}2 = {\log _{18}}(9 \cdot 2) = {\log _{18}}18 = 1,\]

    \[{\log _{15}}5 + {\log _{15}}3 = {\log _{15}}(5 \cdot 3) = {\log _{15}}15 = 1,\]

    \[{\log _{12}}18 + {\log _{12}}8 = {\log _{12}}(18\cdot8) = \]

    \[ = {\log _{12}}144 = 2.\]

Это свойство верно, в частности, и для десятичных и натуральных логарифмов.

Сумма десятичных логарифмов равна десятичному логарифму произведения выражений, стоящих под знаками логарифмов слагаемых:

    \[\lg x + \lg y = \lg (xy)\]

Например,

    \[\lg 2 + \lg 5 = \lg (2 \cdot 5) = \lg 10 = 1,\]

    \[\lg 20 + \lg 5 = \lg (20 \cdot 5) = \lg 100 = 2,\]

    \[\lg 125 + \lg 8 = \lg (125 \cdot 8) = \lg 1000 = 3.\]

Сумма натуральных логарифмов равна натуральному логарифму произведения выражений, которые стоят под знаками логарифмов в слагаемых:

    \[\ln x + \ln y = \ln (xy)\]

Переход от суммы логарифмов к логарифму произведения верен и в случае когда количество слагаемых больше двух:

    \[{\log _a}{x_1} + {\log _a}{x_2} + ... + {\log _a}{x_n} = \]

    \[ = {\log _a}({x_1} \cdot {x_2} \cdot ... \cdot {x_n})\]

Например,

    \[{\log _4}\frac{2}{7} + {\log _4}35 + {\log _4}1,6 = \]

    \[ = {\log _4}\frac{{2 \cdot \mathop {\overline {35} }\limits^5 \cdot 1,6}}{{\mathop {\underline 7 }\limits_1 }} = {\log _4}16 = 2,\]

    \[\lg 2 + \lg 25 + \lg 16 + \lg 12,5 = \]

    \[ = \lg (2 \cdot 25 \cdot 16 \cdot 12,5) = \lg 10000 = 4.\]

Это свойство логарифмов широко используется при упрощении выражений, в ходе решения логарифмических уравнений и неравенств.

      

1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *