Степень в основании логарифма

Как преобразовать степень в основании логарифма?

Если и под знаком логарифма, и в основании логарифма стоят степени, показатели этих степеней можно вынести за знак логарифма в виде дроби.

Числитель этой дроби — показатель степени, стоящей под знаком логарифма, знаменатель — показатель степени, стоящей в основании логарифма.

    \[{\log _{{a^n}}}{x^m} = \frac{m}{n}{\log _a}x\]

(x>0, a>0, a≠1).

Формула преобразования логарифма степени — частный случай данной  формулы.

Если степень стоит только в основании логарифма, выражение под знаком логарифма можно рассматривать как степень с показателем 1.

В этом случае показатель степени из основания логарифма выносим за знак логарифма в знаменатель дроби, числитель которой равен единице:

    \[{\log _{{a^n}}}x = \frac{1}{n}{\log _a}x\]

Примеры.

    \[{\log _{125}}49 = {\log _{{5^3}}}{7^2} = \frac{2}{3}{\log _5}7,\]

    \[{\log _{{6^{\frac{1}{3}}}}}16 = {\log _{{6^{\frac{1}{3}}}}}{2^4} = \frac{4}{{\frac{1}{3}}}{\log _6}2 = \]

    \[ = 4 \cdot 3{\log _6}2 = 12{\log _6}2,\]

    \[{\log _{\frac{1}{{121}}}}27 = {\log _{{{11}^{ - 2}}}}{3^3} = \]

    \[ = \frac{3}{{ - 2}}{\log _{11}}3 = - 1,5{\log _{11}}3,\]

    \[{\log _{100}}5 = {\log _{{{10}^2}}}5 = \frac{1}{2}\lg 5,\]

(логарифм по основанию 10 — десятичный логарифм)

    \[{\log _{\frac{1}{{81}}}}7 = {\log _{{3^{ - 4}}}}7 = \frac{1}{{ - 4}}{\log _3}7 = - \frac{1}{4}{\log _3}7.\]

Это замечательное свойство позволяет найти значение любого логарифма в тех случаях, когда  число под знаком логарифма и число в основании логарифма можно привести к степени с одинаковым основанием. Позже рассмотрим, как это сделать.

Поскольку корень можно заменить степенью с дробным показателем, аналогично можно преобразовывать логарифмы с корнем в основании.

Такие преобразования рассмотрим в следующий раз.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *