Умножение логарифмов

Умножение логарифмов может быть выполнено в отдельных случаях с привлечением тех или иных свойств логарифмов. Готовой формулы для умножения логарифмов нет.

Например, два логарифма, у которых основание и выражение под знаком логарифма меняются местами — взаимно обратные числа:

    \[{\log _a}b \cdot {\log _b}a = {\log _a}b \cdot \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = 1\]

    \[(a > 0,a \ne 1,b > 0,b \ne 1)\]

Примеры.

    \[1){\log _2}3 \cdot {\log _3}2 = {\log _2}3 \cdot \frac{1}{{{{\log }_2}3}} = 1;\]

    \[2)\lg 7 \cdot {\log _7}10 = \lg 7 \cdot \frac{1}{{\lg 7}} = 1;\]

    \[3)\ln 5 \cdot {\log _5}e = \ln 5 \cdot \frac{1}{{\ln 5}} = 1.\]

При умножении нескольких логарифмов с разными основаниями можно попытаться перейти к логарифмам с одинаковым основанием по формуле

    \[{\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\]

    \[c > 0,c \ne 1,a > 0,a \ne 1,b > 0\]

Пример.

Найти значение выражения:

    \[{\log _{16}}3 \cdot {\log _3}7 \cdot {\log _7}41 \cdot {\log _{41}}128\]

Решение:

Приведём все логарифмы к одинаковому основанию. Удобнее всего перейти к основанию 10 (короче запись)

    \[{\log _{16}}3 = \frac{{\lg 3}}{{\lg 16}},{\log _3}7 = \frac{{\lg 7}}{{\lg 3}},\]

    \[{\log _7}41 = \frac{{\lg 41}}{{\lg 7}},{\log _{41}}128 = \frac{{\lg 128}}{{\lg 41}}\]

    \[{\log _{16}}3 \cdot {\log _3}7 \cdot {\log _7}41 \cdot {\log _{41}}128 = \]

    \[ = \frac{{\lg 3 \cdot \lg 7 \cdot \lg 41 \cdot \lg 128}}{{\lg 16 \cdot \lg 3 \cdot \lg 7 \cdot \lg 41}} = \]

Сократив дробь, приходим к частному двух логарифмов по одинаковому основанию и переходим от частного логарифмов к одному логарифму

    \[ = \frac{{\lg 128}}{{\lg 16}} = {\log _{16}}128 = \]

По формуле

    \[{\log _{{a^n}}}{a^m} = \frac{m}{n}{\log _a}a = \frac{m}{n}\]

    \[ = {\log _{{2^4}}}{2^7} = \frac{7}{4} = 1,75.\]

(Вариант — сразу же во всех логарифмах перейти к основанию 2).

Умножение логарифмов с одинаковыми основаниями также можно попытаться изменить, используя свойства логарифмов.

Примеры.

Вычислить:

    \[\log _{21}^23 + {\log _{21}}7 \cdot {\log _{21}}63 = \]

    \[ = \log _{21}^23 + {\log _{21}}7 \cdot ({\log _{21}}7 + 2{\log _{21}}3) = \]

    \[ = \log _{21}^23 + {\log _{21}}7 \cdot ({\log _{21}}7 + 2{\log _{21}}3) = \]

    \[ = \log _{21}^23 + \log _{21}^27 + 2{\log _{21}}3 \cdot {\log _{21}}7 = \]

По формуле квадрата суммы

    \[ = {({\log _{21}}3 + {\log _{21}}7)^2} = {({\log _{21}}(3 \cdot 7))^2} = \]

    \[ = {({\log _{21}}21)^2} = {1^2} = 1.\]

      

1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *