Логарифм равен 0

Когда логарифм равен 0?

Каким бы ни было основание логарифма, логарифм равен нулю в единственном случае — когда под знаком логарифма стоит единица.

Например,

    \[{\log _2}1 = 0\]

    \[{\log _{4,7}}1 = 0\]

    \[{\log _{\sqrt 3 }}1 = 0\]

    \[{\log _{\frac{2}{9}}}1 = 0.\]

Если логарифм, под знаком которого стоит выражение с переменной,  равен 0, то это выражение может быть равным только единице:

    \[{\log _a}f(x) = 0 \Rightarrow f(x) = 1\]

При этом дополнительно накладывать условие на выражение под знаком логарифма не нужно — поскольку оно равно единице, то оно автоматически больше нуля.

Если основание a — число, то область допустимых значений: x — любое число (x∈R).

Если a=a(x), то ОДЗ: a(x)>0, a(x)≠1.

Например,

    \[1){\log _5}({x^2} - 3) = 0\]

ОДЗ: x∈R

    \[{x^2} - 3 = 1\]

    \[{x^2} = 4\]

    \[x = \pm 2.\]

Ответ: ±2.

    \[2){\log _{x - 2}}({x^2} - 2x - 14) = 0\]

ОДЗ:

    \[\left\{ \begin{array}{l} x - 2 > 0;\\ x - 2 \ne 1, \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 2;\\ x \ne 3. \end{array} \right.\]

Так как логарифм равен нулю, выражение, стоящее под знаком логарифма, равно единице:

    \[{x^2} - 2x - 14 = 1\]

    \[{x^2} - 2x - 15 = 0\]

    \[{x_1} = 5;{x_2} = - 3\]

ОДЗ удовлетворяет только 5.

Ответ: 5.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *