Как решать показательные уравнения

Рассмотрим, как решать показательные уравнения, содержащие несколько степеней с двумя различными основаниями, у которых в показателях соответственно равны коэффициенты при переменных.

Возможный вариант решения уравнений — вынесение общего множителя за скобки.

$1){3^{x + 3}} - 5 \cdot {3^{x + 1}} - {5^{x + 2}} + 3 \cdot {5^{x + 1}} = 2 \cdot {3^x}$

ОДЗ: x∈R.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями. Удобнее разнести их по разные стороны:

${3^{x + 3}} - 5 \cdot {3^{x + 1}} - 2 \cdot {3^x} = {5^{x + 2}} - 3 \cdot {5^{x + 1}}$

Выносим общий множитель — степень с наименьшим показателем — за скобки. Вынести за скобки общий множитель — значит, каждое слагаемое разделить на этот множитель. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаем:

${3^x} \cdot (\frac{{{3^{x + 3}}}}{{{3^x}}} - 5 \cdot \frac{{{3^{x + 1}}}}{{{3^x}}} - 2 \cdot \frac{{{3^x}}}{{{3^x}}}) =$

$= {5^{x + 1}} \cdot (\frac{{{5^{x + 2}}}}{{{5^{x + 1}}}} - 3 \cdot \frac{{{5^{x + 1}}}}{{{5^{x + 1}}}})$

${3^x} \cdot ({3^{x + 3 - x}} - 5 \cdot {3^{x + 1 - x}} - 2) =$

$= {5^{x + 1}} \cdot ({5^{x + 2 - x - 1}} - 3)$

${3^x} \cdot ({3^3} - 5 \cdot 3 - 2) = {5^{x + 1}} \cdot (5 - 3)$

${3^x} \cdot 10 = {5^{x + 1}} \cdot 2$

${3^x} \cdot 10 = {5^x} \cdot 5 \cdot 2$

Разделив на 10, получаем однородное показательное уравнение 1-й степени, которое решается делением на одну из степеней

${3^x} \cdot 10 = {5^x} \cdot 10\_\_\_\left| {:10} \right.$

${3^x} = {5^x}\_\_\_\left| {:{5^x}} \right.$

${(\frac{3}{5})^x} = 1$

${(\frac{3}{5})^x} = {(\frac{3}{5})^0}$

$x = 0$

Ответ: 0.

$2){3^x} - {2^{x + 4}} = {3^{x - 1}} - 55 \cdot {2^{x - 2}}$

ОДЗ: x∈R.

Группируем степени с разными основаниями в разных частях уравнения

${3^x} - {3^{x - 1}} = {2^{x + 4}} - 55 \cdot {2^{x - 2}}$

Выносим степень с наименьшим показателем за скобки

${3^{x - 1}} \cdot ({3^{x - (x - 1)}} - 1) =$

$= {2^{x - 2}} \cdot ({2^{x + 4 - (x - 2)}} - 55)$

${3^{x - 1}} \cdot (3 - 1) = {2^{x - 2}} \cdot ({2^6} - 55)$

${3^{x - 1}} \cdot 2 = {2^{x - 2}} \cdot 9$

Чтобы избавиться от 2 и 9, разделим уравнение последовательно сначала на одно, потом на другое число (можно, разумеется, сразу разделить на их произведение 18):

${3^{x - 1}} \cdot 2 = {2^{x - 2}} \cdot 9\_\_\_\left| {:2} \right.$