Как решать показательные уравнения

Рассмотрим, как решать показательные уравнения, содержащие несколько степеней с двумя различными основаниями, у которых в показателях соответственно равны коэффициенты при переменных.

Возможный вариант решения уравнений — вынесение общего множителя за скобки.

    \[1){3^{x + 3}} - 5 \cdot {3^{x + 1}} - {5^{x + 2}} + 3 \cdot {5^{x + 1}} = 2 \cdot {3^x}\]

ОДЗ: x∈R.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями. Удобнее разнести их по разные стороны:

    \[{3^{x + 3}} - 5 \cdot {3^{x + 1}} - 2 \cdot {3^x} = {5^{x + 2}} - 3 \cdot {5^{x + 1}}\]

Выносим общий множитель — степень с наименьшим показателем — за скобки. Вынести за скобки общий множитель — значит, каждое слагаемое разделить на этот множитель. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаем:

    \[{3^x} \cdot (\frac{{{3^{x + 3}}}}{{{3^x}}} - 5 \cdot \frac{{{3^{x + 1}}}}{{{3^x}}} - 2 \cdot \frac{{{3^x}}}{{{3^x}}}) = \]

    \[ = {5^{x + 1}} \cdot (\frac{{{5^{x + 2}}}}{{{5^{x + 1}}}} - 3 \cdot \frac{{{5^{x + 1}}}}{{{5^{x + 1}}}})\]

    \[{3^x} \cdot ({3^{x + 3 - x}} - 5 \cdot {3^{x + 1 - x}} - 2) = \]

    \[ = {5^{x + 1}} \cdot ({5^{x + 2 - x - 1}} - 3)\]

    \[{3^x} \cdot ({3^3} - 5 \cdot 3 - 2) = {5^{x + 1}} \cdot (5 - 3)\]

    \[{3^x} \cdot 10 = {5^{x + 1}} \cdot 2\]

    \[{3^x} \cdot 10 = {5^x} \cdot 5 \cdot 2\]

Разделив на 10, получаем однородное показательное уравнение 1-й степени, которое решается делением на одну из степеней

    \[{3^x} \cdot 10 = {5^x} \cdot 10\_\_\_\left| {:10} \right.\]

    \[{3^x} = {5^x}\_\_\_\left| {:{5^x}} \right.\]

    \[{(\frac{3}{5})^x} = 1\]

    \[{(\frac{3}{5})^x} = {(\frac{3}{5})^0}\]

    \[x = 0\]

Ответ: 0.

    \[2){3^x} - {2^{x + 4}} = {3^{x - 1}} - 55 \cdot {2^{x - 2}}\]

ОДЗ: x∈R.

Группируем степени с разными основаниями в разных частях уравнения

    \[{3^x} - {3^{x - 1}} = {2^{x + 4}} - 55 \cdot {2^{x - 2}}\]

Выносим степень с наименьшим показателем за скобки

    \[{3^{x - 1}} \cdot ({3^{x - (x - 1)}} - 1) = \]

    \[ = {2^{x - 2}} \cdot ({2^{x + 4 - (x - 2)}} - 55)\]

    \[{3^{x - 1}} \cdot (3 - 1) = {2^{x - 2}} \cdot ({2^6} - 55)\]

    \[{3^{x - 1}} \cdot 2 = {2^{x - 2}} \cdot 9\]

Чтобы избавиться от 2 и 9, разделим уравнение последовательно сначала на одно, потом на другое число (можно, разумеется, сразу разделить на их произведение 18):

    \[{3^{x - 1}} \cdot 2 = {2^{x - 2}} \cdot 9\_\_\_\left| {:2} \right.\]

    \[{3^{x - 1}} = \frac{{{2^{x - 2}}}}{2} \cdot 9\_\_\_\left| {:9} \right.\]

    \[\frac{{{3^{x - 1}}}}{9} = \frac{{{2^{x - 2}}}}{2}\]

    \[{3^{x - 3}} = {2^{x - 3}}\]

Получили однородное показательное уравнение 1-й степени

    \[{3^{x - 3}} = {2^{x - 3}}\_\_\_\left| {:{2^{x - 3}}} \right.\]

    \[{(\frac{3}{2})^{x - 3}} = 1\]

    \[{(\frac{3}{2})^{x - 3}} = {(\frac{3}{2})^0}\]

    \[x - 3 = 0\]

    \[x = 3\]

Ответ: 3.

Такого рода уравнения могут содержать также степени с одинаковыми основаниями, но разными коэффициентами при переменных в показателях.

Пример.

    \[3){2^{x + 4}} - {2^{x + 3}} + {2^{x + 2}} = 3 \cdot {2^{{x^2}}}\]

    \[{2^{x + 2}} \cdot ({2^2} - 2 + 1) = 3 \cdot {2^{{x^2}}}\]

ОДЗ: x∈R.

    \[{2^{x + 2}} \cdot 3 = 3 \cdot {2^{{x^2}}}\]

    \[{2^{x + 2}} = {2^{{x^2}}}\]

    \[x + 2 = {x^2}\]

    \[{x^2} - x - 2 = 0\]

    \[{x_1} = - 1;{x_2} = 2\]

Ответ: -1; 2.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>