Способы решения показательных уравнений

Продолжаем рассматривать способы решения показательных уравнений. Использование свойств функций в решении показательных уравнений начнём с применения монотонности функций.

Способ решения уравнений, связанный с возрастанием и убыванием функций, основан на двух утверждениях.

I. Если в уравнении

$f(x) = a$

функция f(x) возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение на этом промежутке может иметь не более одного корня.

II. Если в уравнении

$f(x) = g(x)$

функция f(x) возрастает на некотором промежутке, а функция g(x) на этом промежутке убывает (или наоборот), то это уравнение на этом промежутке может иметь не более одного корня.

Рассмотрим этот способ решения показательных уравнений на конкретных примерах.

$1){(\frac{1}{3})^x} = 2x + 5$

OДЗ: x∈R.

Функция

$f(x) = {(\frac{1}{3})^x}$

— убывающая, функция g(x)=2x+5 — возрастающая. Значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим корень: x= -1.

Ответ: -1.

$2){10^{x + 3}} = 6 - 2x$

OДЗ: x∈R.

Функция

$f(x) = {10^{x + 3}}$

— возрастающая, функция g(x)=6-2x — убывающая. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбираем и находим x= -2.

Ответ: -2.

$3){(\frac{2}{9})^x} = {11^x}$

OДЗ: x∈R.Функция

$f(x) = {(\frac{2}{9})^x}$

— убывающая, функция

$g(x) = {11^x}$

— возрастающая. Поэтому уравнение имеет единственный корень либо не имеет корней. Подбором находим, что корень есть: x=0.

Ответ: 0.

$4){6^{x - 1}} + {2^{x + 1}} = 52$

OДЗ: x∈R.

Функция

$f(x) = {6^{x - 1}} + {2^{x + 1}}$

— возрастающая (как сумма возрастающих функций), значит, уравнение имеет единственный корень либо не имеет корней. Подбирая, определяем корень: x=3.

Ответ: 3.

$5){4^{x - 3}} = \frac{{12}}{x}$

ОДЗ: x∈(-∞;0)U(0;∞).

Функция

$f(x) = {4^{x - 3}}$

— возрастающая. Функция

$g(x) = \frac{{12}}{x}$

убывает на каждом из промежутков (-∞;0) и (0;∞). Следовательно, на каждом из этих промежутков уравнение может иметь только один корень либо не иметь корней.

При x<0 f(x)>0, g(x)<0. Следовательно, на промежутке (-∞;0) корней нет.

При x>0 и f(x)>0, и g(x)>0. На промежутке (0;∞) подбираем корень: x=4.

Ответ: 4.

$6){5^x} + {12^x} = {13^x}$

OДЗ: x∈R.

В обеих частях уравнения — возрастающие функции, свойство монотонности пока применить нельзя.

Разделим обе части уравнения на 13 в степени x (деление на степень не ведёт к потере корней):

${5^x} + {12^x} = {13^x}\_\_\_\left| {:{{13}^x}} \right. \ne 0$

${(\frac{5}{{13}})^x} + {(\frac{{12}}{{13}})^x} = 1$

Функция

$f(x) = {(\frac{5}{{13}})^x} + {(\frac{{12}}{{13}})^x}$

— убывающая (как сумма убывающих функций). Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x = 2.

Ответ: 2.

Добавить комментарий Отменить ответ