Способы решения показательных уравнений

Продолжаем рассматривать способы решения показательных уравнений. Использование свойств функций в решении показательных уравнений начнём с применения монотонности функций.

Способ решения уравнений, связанный с возрастанием и убыванием функций, основан на двух утверждениях.

I. Если в уравнении

    \[f(x) = a\]

функция f(x) возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение на этом промежутке может иметь не более одного корня.

II. Если в уравнении

    \[f(x) = g(x)\]

функция f(x) возрастает на некотором промежутке, а функция g(x) на этом промежутке убывает (или наоборот), то это уравнение на этом промежутке может иметь не более одного корня.

Рассмотрим этот способ решения показательных уравнений на конкретных примерах.

    \[1){(\frac{1}{3})^x} = 2x + 5\]

OДЗ: x∈R.

Функция

    \[f(x) = {(\frac{1}{3})^x}\]

- убывающая, функция g(x)=2x+5 — возрастающая. Значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим корень: x= -1.

Ответ: -1.

    \[2){10^{x + 3}} = 6 - 2x\]

OДЗ: x∈R.

Функция

    \[f(x) = {10^{x + 3}}\]

- возрастающая, функция g(x)=6-2x — убывающая. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбираем и находим x= -2.

Ответ: -2.

    \[3){(\frac{2}{9})^x} = {11^x}\]

OДЗ: x∈R.Функция

    \[f(x) = {(\frac{2}{9})^x}\]

- убывающая, функция

    \[g(x) = {11^x}\]

- возрастающая. Поэтому уравнение имеет единственный корень либо не имеет корней. Подбором находим, что корень есть: x=0.

Ответ: 0.

    \[4){6^{x - 1}} + {2^{x + 1}} = 52\]

OДЗ: x∈R.

Функция

    \[f(x) = {6^{x - 1}} + {2^{x + 1}}\]

- возрастающая (как сумма возрастающих функций), значит, уравнение имеет единственный корень либо не имеет корней. Подбирая, определяем корень: x=3.

Ответ: 3.

    \[5){4^{x - 3}} = \frac{{12}}{x}\]

ОДЗ: x∈(-∞;0)U(0;∞).

Функция

    \[f(x) = {4^{x - 3}}\]

- возрастающая. Функция

    \[g(x) = \frac{{12}}{x}\]

убывает на каждом из промежутков (-∞;0) и (0;∞). Следовательно, на каждом из этих промежутков уравнение может иметь только один корень либо не иметь корней.

При x<0 f(x)>0, g(x)<0. Следовательно, на промежутке (-∞;0) корней нет.

При x>0 и f(x)>0, и g(x)>0. На промежутке (0;∞) подбираем корень: x=4.

Ответ: 4.

    \[6){5^x} + {12^x} = {13^x}\]

OДЗ: x∈R.

В обеих частях уравнения — возрастающие функции, свойство монотонности пока применить нельзя.

Разделим обе части уравнения на 13 в степени x (деление на степень не ведёт к потере корней):

    \[{5^x} + {12^x} = {13^x}\_\_\_\left| {:{{13}^x}} \right. \ne 0\]

    \[{(\frac{5}{{13}})^x} + {(\frac{{12}}{{13}})^x} = 1\]

Функция

    \[f(x) = {(\frac{5}{{13}})^x} + {(\frac{{12}}{{13}})^x}\]

- убывающая (как сумма убывающих функций). Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x = 2.

Ответ: 2.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>