Однородные показательные уравнения

Рассмотрим однородные показательные уравнения второй и третьей степени (1-й — здесь).

Однородное уравнение — это уравнение, все члены которого имеют одинаковую суммарную степень.

Однородные уравнения второй степени в общем виде можно записать так:

    \[{k_1}{a^{2f(x)}} + {k_2}{a^{f(x)}} \cdot {b^{f(x)}} + {k_3}{b^{2f(x)}} = 0,\]

где k1, k2, k3,  a и b — некоторые числа, причём a и b — положительны и отличны от единицы.

Чтобы прийти к такому виду, почти всегда уравнение требуется предварительно преобразовать. Чаще всего уравнение записывают в виде

    \[{k_1}{a^{2f(x)}} + {k_2}{(a \cdot b)^{f(x)}} + {k_3}{b^{2f(x)}} = 0\]

Запишем признаки,  которые позволят отличить однородное уравнение от уравнений другого вида.

Признаки однородного показательного уравнения второй степени

  • уравнение содержит ровно три степени с разными основаниями;
  • показатели двух степеней ровно в два раза больше показателя третьей степени;
  • основание этой третьей степени равно произведению оснований двух других степеней.

Однородные показательные уравнения второй степени решаются почленным делением обеих частей на наибольшую из степеней.

    \[{k_1}{a^{2f(x)}} + {k_2}{a^{f(x)}} \cdot {b^{f(x)}} + {k_3}{b^{2f(x)}} = \]

    \[ = 0\_\_\_\left| : \right.{b^{2f(x)}}\]

Поскольку

    \[{b^{2f(x)}} > 0,\]

деление на степень не приводит к потере корней (то есть получаем уравнение, равносильное предыдущему).

    \[{k_1} \cdot \frac{{{a^{2f(x)}}}}{{{b^{2f(x)}}}} + {k_2} \cdot \frac{{{a^{f(x)}} \cdot {b^{f(x)}}}}{{{b^{2f(x)}}}} + {k_3} \cdot \frac{{{b^{2f(x)}}}}{{{b^{2f(x)}}}} = \]

    \[ = 0\]

После преобразования получаем показательное уравнение, сводящееся к квадратному:

    \[{k_1} \cdot {(\frac{a}{b})^{2f(x)}} + {k_2} \cdot {(\frac{a}{b})^{f(x)}} + {k_3} = 0\]

Примеры.

    \[1)3 \cdot {4^x} + 2 \cdot {9^x} = 5 \cdot {6^x}\]

ОДЗ: x∈R.Перепишем уравнение в виде

    \[3 \cdot {2^{2x}} - 5 \cdot {2^x} \cdot {3^x} + 2 \cdot {3^{2x}} = 0\]

Разделим обе расти уравнения почтенно на 3 в степени 2x:

    \[3 \cdot {2^{2x}} - 5 \cdot {2^x} \cdot {3^x} + 2 \cdot {3^{2x}} = 0\_\_\_\left| {:{3^{2x}}} \right. \ne 0\]

    \[3 \cdot \frac{{{2^{2x}}}}{{{3^{2x}}}} - 5 \cdot \frac{{{2^x} \cdot {3^x}}}{{{3^{2x}}}} + 2 \cdot \frac{{{3^{2x}}}}{{{3^{2x}}}} = 0\]

После упрощения приходим к уравнению

    \[3 \cdot {(\frac{2}{3})^{2x}} - 5 \cdot {(\frac{2}{3})^x} + 2 = 0\]

Это уравнение сводится к квадратному при помощи замены

    \[{(\frac{2}{3})^x} = t,\]

где t>o. Оба корня квадратного уравнения

    \[3{t^2} - 5t + 2 = 0\]

    \[{t_1} = \frac{2}{3},{t_2} = 1\]

удовлетворяют условию t>0. Обратная замена

    \[{(\frac{2}{3})^x} = \frac{2}{3};{(\frac{2}{3})^x} = 1\]

    \[{(\frac{2}{3})^x} = {(\frac{2}{3})^1};{(\frac{2}{3})^x} = {(\frac{2}{3})^0}\]

    \[x = 1;x = 0\]

Ответ: 1; 0.

    \[2){3^{2x + 1}} - 8 \cdot {15^x} + {5^{2x + 1}} = 0\]

ОДЗ: x∈R.

Сначала избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней, используя свойства степеней

    \[2){3^{2x + 1}} - 8 \cdot {15^x} + {5^{2x + 1}} = 0\]

представим степень с основанием 15 в виде произведения степеней с основаниями 3 и 5:

    \[3 \cdot {3^{2x}} - 8 \cdot {3^x} \cdot {5^x} + 5 \cdot {5^{2x}} = 0\]

Делим обе части уравнения на 5 в степени 2x:

    \[3 \cdot {3^{2x}} - 8 \cdot {3^x} \cdot {5^x} + 5 \cdot {5^{2x}} = 0\_\_\_\left| {:{5^{2x}}} \right. \ne 0\]

    \[3 \cdot {(\frac{3}{5})^{2x}} - 8 \cdot {(\frac{3}{5})^x} + 5 = 0\]

Пусть

    \[{(\frac{3}{5})^x} = t,t > 0,\]

тогда

    \[3{t^2} - 8t + 5 = 0\]

    \[{t_1} = \frac{5}{3};{t_2} = 1\]

Оба корня положительны. Возвращаемся к исходной переменной:

    \[{(\frac{3}{5})^x} = \frac{5}{3};{(\frac{3}{5})^x} = 1\]

    \[{(\frac{3}{5})^x} = {(\frac{3}{5})^{ - 1}};{(\frac{3}{5})^x} = {(\frac{3}{5})^0}\]

    \[x = - 1;x = 0\]

Ответ: -1; 0.

По такому же принципу решаются однородные показательные уравнения 3-й степени.

    \[3){8^x} + {18^x} = 2 \cdot {27^x}\]

    \[{8^x} + {18^x} = 2 \cdot {27^x}\_\_\_{\left| {:27} \right.^x} \ne 0\]

    \[{(\frac{8}{{27}})^x} + {(\frac{{18}}{{27}})^x} = 2\]

    \[{(\frac{2}{3})^{3x}} + {(\frac{2}{3})^x} = 2\]

Замена

    \[{(\frac{2}{3})^x} = t,t > o\]

приводит к уравнению третьей степени

    \[{t^3} + t - 2 = 0\]

Представим -2=-1-1 и сгруппируем слагаемые

    \[({t^3} - 1) + (t - 1) = 0\]

В первых скобках — разность кубов

    \[(t - 1)({t^2} + t + 1) + (t - 1) = 0\]

Общий множитель (t-1) вынесем за скобки

    \[(t - 1)({t^2} + t + 1 + 1) = 0\]

    \[(t - 1)({t^2} + t + 2) = 0\]

Получили уравнение типа «произведение равно нулю». приравниваем к нулю каждый множитель

    \[t - 1 = 0;{t^2} + t + 2 = 0\]

Корень 1-го уравнения — t=1, второе уравнение не имеет корней. Обратная замена

    \[{(\frac{2}{3})^x} = 1\]

    \[x = 0\]

Ответ: 0.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *